Даны результаты наблюдений за среднесуточной температурой воздуха

1,3. Для построения гистограммы над каждым интервалом строим прямоугольник с высотой Hi=nin:20, где 20 – длина интервала (рис. 1).
Таблица 1
Температура -40;-20
-20;0
0;20
20;40
Число дней 14 65 137 54
0,052 0,241 0,507 0,200
Hi 0,003 0,012 0,025 0,010
Рис.1 - Гистограмма и многоугольник распределения
2. По виду ступенчатой фигуры можно предположить, что случайная величина имеет нормальный закон распределения.
3,4. Значения m и σ возьмем равными соответствующим оценкам. В качестве «представителя» каждого интервала возьмем его середину:
m≈X=i=14xinin=-30∙14+(-10)∙65+10∙137+30∙5414+65+137+54=7,11,
σ2≈S2=i=16xi-X2∙nin-1=
=-30-7,112∙14+-10-7,112∙65+10-7,112∙137+30-7,112∙5414+65+137+54-1=251,85,
S=251,85=15,87.
Итак, выдвинем гипотезу о том, что СВ имеет нормальный закон распределения с функцией плотности fx (рис. 1)
f x=115,872π∙e-X-7,1122∙251,85=N7,11;251,85 (1)
Кривая этой функции построена на рис. 1. Для этого достаточно найти значение fx в точке максимума x=X=7,11 и в точках перегиба x=X±S=7,11±15,87. Затем следует эти точки соединить плавной кривой, учитывая форму кривой нормального распределения.
В частности, f7,11=0,025, f7,11±15,87=0,015.
Зададим уровень значимости β – любой из имеющихся в приложение 2. Пусть β=0,05. Число степеней свободы для χ2 равно k-3=4-3=1. По таблице из приложения 2 по r=1 и β=0,05 находим χ2=3,841. Критической областью в данном случае будет интервал 3,841; ∞).
Вычислим χ2по формуле:
i=1knpi∙nin-pi2=i=1kni-npi2 npi=χ2.
Для этого требуется вычислить вероятность попадания СВ X на каждый интервал согласно выдвинутой гипотезе:
P1=P-40<x<-20=-40-20fxdx=Ф-20-7,1115,87-Ф-40-7,1115,87=Ф-1,71-Ф-2,97=0,0421;
P2=P-20<x<0=-20-0fxdx=Ф0-7,1115,87-Ф-20-7,1115,87=Ф-0,45-Ф-1,71=0,2828;
P3=P0<x<20=020fxdx=Ф20-7,1115,87-Ф0-7,1115,87=Ф0,81-Ф-0,45=0,4646;
P4=P20<x<40=2040fxdx=Ф40-7,1115,87-Ф20-7,1115,87=Ф2,07-Ф0,81=0,2021;
Значение функции Лапласа Фx приведены в приложение 1 . При этом следует помнить, что Ф-x=-Фx. Для сравнения результаты вычислений внесены четвертой строкой в табл. 2. Вычисления χ2 рекомендуется оформить в виде таблицы.
Таблица 2
ni
pi
n∙pi
ni-npi
ni-npi2
ni-npi2npi
14 0,0421 11,367 2,633 6,933 0,610
65 0,2828 76,356 -11,36 128,959 1,689
137 0,4646 125,44 11,558 133,587 1,065
54 0,2021 54,567 -0,567 0,321 0,006
n=270
χ2=3,370
Величина χ2 равна сумме значений последнего столбца табл. 2. Значение χ2=3,370 не входит в критическую область: 3,370<3,841.
Вывод: гипотеза не противоречит опытным данным. И вероятность того, что мы при этом ошибемся, меньше 0,05.
Приложение 1
Значения функции Лапласа Φx=12π0xe-z22dz.

0,00 0,0000 0,41 0,1591 0,82 0,2939 1,12 0,3686 1,53 0,4370
0,01 0,0040 0,42 0,1628 0,83 0,2967 1,13 0,3708 1,54 0,4382
0,02 0,0080 0,43 0,1664 0,84 0,2995 1,14 0,3729 1,55 0,4394
0,03 0,0120 0,44 0,1700 0,85 0,3023 1,15 0,3749 1,56 0,4406
0,04 0,0160 0,45 0,1736 0,86 0,3051 1,16 0,3770 1,57 0,4418
0,05 00199, 0,46 0,1772 0,87 0,3078 1,17 0,3790 1,58 0,4429
0,06 0,0239 0,47 0,1808 0,88 0,3106 1,18 0,3810 1,59 0,4441
0,07 0,0279 0,48 0,1844 0,89 0,3133 1,19 0,3830 1,60 0,4452
0,08 0,0319 0,49 0,1879 0,90 0,3159 1,20 0,3849 1,61 0,4463
0,09 0,0359 0,50 0,1915 0,91 0,3186 1,21 0,3869 1,62 0,4474
0,10 0,0398 0,51 0,1950 0,92 0,3212 1,22 0,3883 1,63 0,4484
0,11 0,0438 0,52 0,1985 0,93 0,3238 1,23 0,3907 1,64 0,4495
0,12 0,0478 0,53 0,2019 0,94 0,3264 1,24 0,3925 1,65 0,4505
0,13 0,0517 0,54 0,2054 0,95 0,3289 1,25 0,3944 1,66 0,4515
0,14 0,0557 0,55 0,2088 0,96 0,3315 1,26 0,3962 1,67 0,4525
0,15 0,0596 0,56 0,2123 0,97 0,3340 1,27 0,3980 1,68 0,4535
0,16 0,0636 0,57 0,2157 0,98 0,3365 1,28 0,3997 1,69 0,4545
0,17 0,0675 0,58 0,2190 0,99 0,3389 1,29 0,4015 1,70 0,4554
0,18 0,0714 0,59 0,2224 1,00 0,3413 1,30 0,4032 1,71 0,4564
0,19 0,0753 0,60 0,2257 1,01 0,3438 1,31 0,4049 1,72 0,4573
0,20 0,0793 0,61 0,2291 1,02 0,3461 1,32 0,4066 1,73 0,452
0,21 0,0832 0,62 0,2324 1,03 0,3485 1,33 0,4082 1,74 0,4591
0,22 0,0871 0,63 0,2357 1,04 0,3508 1,34 0,4099 1,75 0,4599
0,23 0,0910 0,64 0,2389 1,05 0,3531 1,35 0,4115 1,76 0,4608
0,24 0,0948 0,65 0,2422 1,06 0,3554 1,36 0,4131 1,77 0,4616
0,25 0,0987 0,66 0,2454 1,06 0,3577 1,37 0,4147 1,78 0,4625
0,26 0,1026 0,67 0,2486 0,98 0,3365 1,38 0,4162 1,79 0,4633
0,27 0,1064 0,68 0,2517 0,99 0,3389 1,39 0,4177 1,80 0,4641
0,28 0,1103 0,69 0,2549 1,00 0,3413 1,40 0,4192 1,81 0,4649
0,29 0,1141 0,70 0,2580 1,01 0,3438 1,41 0,4207 1,82 0,4656
0,30 0,1179 0,71 0,2611 1,02 0,3461 1,42 0,4222 1,83 0,4664
0,31 0,1217 0,72 0,2642 1,03 0,3485 1,43 0,4236 1,84 0,4671
0,32 0,1255 0,73 0,2673 1,04 0,3508 1,44 0,4251 1,85 0,4678
0,33 0,1293 0,74 0,2703 1,05 0,3531 1,45 0,4265 1,86 0,4686
0,34 0,1331 0,75 0,2734 1,06 0,3554 1,46 0,4279 1,87 0,4693
0,35 0,1368 0,76 0,2764 1,06 0,3577 1,47 0,4292 1,88 0,4699
0,36 0,1406 0,77 0,2794 1,07 0,3577 1,48 0,4306 1,89 0,4706
0,37 0,1443 0,78 0,2823 1,08 0,3599 1,49 0,4319 1,90 0,4713
0,38 0,1480 0,79 0,2852 1,09 0,3621 1,50 0,4332 1,91 0,4719
0,39 0,1517 0,80 0,2881 1,10 0,3643 1,51 0,4345 1,92 0,4726
0,40 0,1554 0,81 0,2910 1,11 0,3665 1,52 0,4357 1,93 0,4732
1,94 0,4738 2,14 0,4838 2,40 0,4918 2,66 0,4961 2,92 0,4982
1,95 0,4744 2,16 0,4846 2,42 0,4922 2,68 0,4963 2,94 0,4984
1,96 0,4750 2,18 0,4854 2,44 0,4927 2,70 0,4965 2,96 0,4985
1,97 0,4756 2,20 0,4861 2,46 0,4931 2,72 0,4967 2,98 0,4986
1,98 0,4761 2,22 0,4868 2,48 0,4934 2,74 0,4969 3,00 0,49865
1,99 0,4767 2,24 0,4875 2,50 0,4938 2,76 0,4971 3,20 0,49931
2,00 0,4772 2,26 0,4881 2,52 0,4941 2,78 0,4973 3,40 0,49966
2,02 0,4783 2,28 0,4887 2,54 0,4945 2,80 0,4974 3,60 0,499841
2,04 0,4793 2,30 0,4893 2,56 0,4948 2,82 0,4976 3,80 0,499928
2,06 0,4803 2,32 0,4898 2,58 0,4951 2,84 0,4977 4,00 0,499968
2,08 0,4812 2,34 0,4904 2,60 0,4953 2,86 0,4979 4,50 0,499997
2,10 0,4821 2,36 0,4909 2,62 0,4956 2,88 0,7980 5,00 0,499997
2,12 0,4830 2,38 0,4913 2,64 0,4959 2,90 0,4981 >5 ≈ 0,5
Приложение 2
Значения χβ2 в зависимости от числа степеней свободы r и уровня
значимости β.
r\β
0,20 0,10 0,05 0,02 0,01
1 1,642 2,706 3,841 5,412 6,635
2 3,219 4,605 5,991 7,824 9,210
3 4,642 6,251 7,815 9,937 11,345
4 6,980 7,779 9,488 11,688 13,277
5 7,289 9,236 11,070 13,338 15,086
6 8,556 10,645 12,592 15,033 16,812
7 9,803 12,017 14,067 16,622 18,475
8 11,030 13,362 15,507 18,168 20,090
9 12,242 14,684 16,919 19,679 21,666
10 13,442 15,987 18,307 21,161 23,209