Даны результаты наблюдений случайной величины X

N=53 – объем выборки.
Упорядочив выборку по возрастанию, получим вариационный ряд
6,6 7,5 8,3 8,4 10,1 10,5 11 11,8 11,8
12,5 13 13,1 13,8 14,4 15,2 15,2 15,5 15,5
15,6 16,3 16,3 16,5 16,5 16,6 17,5 17,7 17,7
17,9 18,4 19 19,1 19,1 19,5 19,6 19,6 19,9
20,4 20,4 21,4 21,4 21,6 21,7 22,8 23,1 23,5
23,7 23,8 24,5 24,6 25 27 29,6 30  
k=10 – число интервалов.
xmin=6,6 – наименьшее значение выборки.
xmax=30 – наибольшее значение выборки.
Длина интервалов
l=xmax-xmink=30-6,610=23,410=2,34
Подсчитаем число значений признака, попавших в каждый интервал, то есть частоту ni. Также найдем относительные частоты по формуле wi=nin и для построения гистограммы относительных частот найдем плотности относительной частоты по формуле wil. Результаты представим в таблице.
Сгруппированный ряд
Частичный интервал, l=2,34
Частота, ni
wi=nin
Плотность относительной частоты, wil
[6,6; 8,94) 4 0,0755 0,0323
[8,94; 11,28) 3 0,0566 0,0242
[11,28; 13,62) 5 0,0943 0,0403
[13,62; 15,96) 7 0,1321 0,0565
[15,96; 18,3) 9 0,1698 0,0726
[18,3; 20,64) 10 0,1887 0,0806
[20,64; 22,98) 5 0,0943 0,0403
[22,98; 25,32) 7 0,1321 0,0565
[25,32; 27,66) 1 0,0189 0,0081
[27,66; 30] 2 0,0377 0,0161
Сумма 53 1 -
Для построения эмпирической функции распределения найдем накопленные относительные частоты
Частичный интервал, l=2,34
Середины частичных интервалов, xi
Относительная частота, wi=nin
Накопленные относительные частоты
[6,6; 8,94) 7,77 0,0755 0,0755
[8,94; 11,28) 10,11 0,0566 0,1321
[11,28; 13,62) 12,45 0,0943 0,2264
[13,62; 15,96) 14,79 0,1321 0,3585
[15,96; 18,3) 17,13 0,1698 0,5283
[18,3; 20,64) 19,47 0,1887 0,717
[20,64; 22,98) 21,81 0,0943 0,8113
[22,98; 25,32) 24,15 0,1321 0,9434
[25,32; 27,66) 26,49 0,0189 0,9623
[27,66; 30] 28,83 0,0377 1
Найти оценки математического ожидания и дисперсии исследуемой случайной величины.
Составим расчетную таблицу
Середина интервала, xi
ni
xini
xi2ni
7,77 4 31,08 241,4916
10,11 3 30,33 306,6363
12,45 5 62,25 775,0125
14,79 7 103,53 1531,2087
17,13 9 154,17 2640,9321
19,47 10 194,7 3790,809
21,81 5 109,05 2378,3805
24,15 7 169,05 4082,5575
26,49 1 26,49 701,7201
28,83 2 57,66 1662,3378
Сумма 53 938,31 18111,0861
Оценкой математического ожидания является выборочная средняя
x=xinin=938,3153≈17,704
Смещенная оценка дисперсии
DX=x2-x2=xi2nin-x2=18111,086153-17,7042≈28,287
Несмещенная оценка дисперсии
s2=nn-1∙DX=5352∙28,287≈28,831
По виду гистограммы относительных частот выдвинем гипотезу о том, что изучаемая случайная величина имеет нормальное распределение с математическим ожиданием a=x=17,704 и средним квадратическим отклонением σ=s2=28,831=5,3695.
Функция плотности распределения случайной величины X имеет вид
fx=1σ2πe-x-a22σ2=15,36952πe-x-17,704257,662
Построим график функции f(x).
Точка a; 1σ2π=17,704; 15,36952π≈17,704;0,0743 – экстремум функции fx.
Точки перегиба функции fx
a-σ; 1σ2πe=17,704-5,3695; 15,36952πe≈12,3345; 0,0451
a+σ; 1σ2πe=17,704+5,3695; 15,36952πe≈23,0735; 0,0451
На уровне значимости α=0,05 по критерию χ2 Пирсона проверим согласие или несогласие выдвинутой гипотезы с результатами наблюдений.
Объединим интервалы, которые имеют мало наблюдений (ni<5), то есть объединим первые два интервала и последние три интервала.
Найдем интервалы zi,zi+1, для этого оставим расчетную таблицу (левый конец первого интервала примем равным -∞, а правый конец последнего интервала ∞)
i
xi
xi+1
xi-x
xi+1-x
zi=xi-xσ
zi+1=xi+1-xσ
1 6,6 11,28 - -6,424 -∞ -1,2
2 11,28 13,62 -6,424 -4,084 -1,2 -0,76
3 13,62 15,96 -4,084 -1,744 -0,76 -0,32
4 15,96 18,3 -1,744 0,596 -0,32 0,11
5 18,3 20,64 0,596 2,936 0,11 0,55
6 20,64 22,98 2,936 5,276 0,55 0,98
7 22,98 30 5,276 - 0,98 ∞
Найдем теоретические вероятности pi и теоретические частоты ni'=n∙pi=53∙pi