Даны координаты вершин пирамиды. Бесплатный доступ к контрольной работе

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Даны координаты вершин пирамиды , , , . Требуется найти: 1) координаты и модули векторов и ; 2) угол между рёбрами и ; 3) площадь грани ; 4) объём пирамиды; 5) уравнение плоскости ; 6) уравнение прямой ; 7) уравнение высоты и её длину, опущенной из вершины на грань . Сделать чертёж.

Ответ

1) , , , ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ,

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

1) Найдем координаты векторов , :
Найдем их модули:
2) Угол между ребрами и найдем как угол между соответствующими векторами с помощью скалярного произведения векторов по формуле:
Найдем скалярное произведение векторов и :
Итого, косинус угла между векторами:
.
3) Согласно геометрическому смыслу модуля векторного произведения векторов, имеем
Найдем координаты векторов , :
,
,
Найдем векторное произведение векторов и :
Найдем длину получившегося вектора:
Таким образом,
4) В соответствии с геометрическим смыслом модуля смешанного произведения векторов, имеем:
Найдем смешанное произведение векторов :
Итого, .
5) уравнение плоскости
Ранее было найдено векторное произведение векторов . Получившийся вектор можно взять в качестве нормального вектора плоскости : Таким образом, можем составить уравнение плоскости по точке и нормальному вектору , воспользовавшись следующей формулой:
Итого,
6) уравнение прямой
Воспользуемся формулой канонического уравнения прямой:
Подставляем координаты точек:
7) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань
Из перпендикулярности прямой и плоскости следует, что в качестве направляющего вектора прямой может быть использован нормальный вектор плоскости

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу