Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4

1) Угол между рёбрами А1А2 и А1А4 находим как угол между векторами A1A2 и A1A4; A1A2=8-3, 7-5, 4-4=5, 2, 0, A1A4=4-3, 7-5, 8-4=1, 2, 4. Тогда
cosA1A2, A1A4=A1A2∙A1A4A1A2∙A1A4=5, 2, 0∙1, 2, 425+4∙1+4+16=5+429∙21=9609≈0,365,
A1A2, A1A4=arccos0,365≈68,61°.
2) Имеем: SA1A2A3=12A1A2×A1A3 . A1A3=5-3, 10-5, 4-4=2, 5, 0.
A1A2×A1A3=ijk520250=k5225=21k=21;
SA1A2A3=12∙21=10,5.
3)
Пр.A1A4A1A3=A1A3∙A1A4A1A4=2, 5, 0∙1, 2, 421=2+1021=1221.
4)
VA1A2A3A4=16∙A1A2×A1A3∙A1A4=16∙520250124=16∙4∙5225=2325-4=14.
5) Уравнения прямой, проходящей через две точки (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) имеют вид:
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1,
или в параметрической форме:
x=x2-x1t+x1,y=y2-y1t+y1,z=z2-z1t+z1.
В данном случае:
x-38-3=y-57-5=z-44-4,
x-35=y-52=z-40,
или
x=5t+3,y=2t+5,z=4.
6) Уравнение плоскости, проходящей через три точки (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) и (x3, y3, z3) имеет вид:
x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0⟺x-3y-5z-48-37-54-45-310-54-4=0⟺x-3y-5z-4520250=0⟺
⟺z-45225=0⟺21z-4=0⟺z-4=0.
Итак, уравнение плоскости А1А2А3:
z=4.