Даны координаты вершин пирамиды A1 A2 A3

A1A2=4-1;-1-3;2-0=3;-4;2;
A1A3=3-1;0-3;1-0=2;-3;1;
A1A4=-4-1;3-3;5-0=-5;0;5;
1) Длина ребра A1A2:
A1A2=32+-42+22=9+16+4=29;
2) Косинус угла между ребрами A1A2 и A1A3:
cosA1A2,A1A3=A1A2,A1A3A1A2∙A1A3=3;-4;2∙2;-3;129∙22+-32+12=
=3∙2+-4∙-3+2∙129∙4+9+1=6+12+229∙14=20406;
Угол между ребрами A1A2 и A1A3:
A1A2,A1A3=arccos20406≈6,98°.
3) Уравнение плоскости, на которой лежит грань A1A2A3:
x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0;
x-1y-3z-03-422-31=0;
x-1∙-4∙1-2∙-3-y-3∙3∙1-2∙2+
+z∙3∙-3--4∙2=0;
x-1∙2-y-3∙-1+z∙-1=0;
2x-2+y-3-z=0;
2x+y-z-5=0.
Cинус угла между ребром A1A4 и гранью A1A2A3 равен:
sinα=nA1A2A3,A1A4nA1A2A3∙A1A4=2;1;-1∙-5;0;522+12+-12∙-52+02+52=
=2∙-5+1∙0+-1∙54+1+1∙25+0+25=-10+0-56∙50=-15103=-32;
Угол между ребром A1A4 и гранью A1A2A3:
α=arcsin-32≈-60°;
4) Найдем площадь грани A1A2A3 по формуле:
SA1A2A3=12∙A1A2×A2A3;
Векторное произведение векторов A1A2 и A1A3:
A1A2×A1A3=iш1кторное произведение jk3-422-31=iш1кторное произведение ∙-4∙1-2∙-3-
-j∙3∙1-2∙2+k∙3∙-3--4∙2=2iш1кторное произведение +j-k=2;1;-1;
SA1A2A3=12∙A1A2×A1A3=12∙22+12+-12=62.
5) объем пирамиды A1A2A3A4:
V=16∙A1A2∙A1A3∙A1A4;
Найдем смешанное произведение векторов A1A2, A1A3, A1A4:
A1A2∙A1A3∙A1A4=3-422-31-505=3∙-3∙5-1∙0-
--4∙2∙5-1∙-5+2∙2∙0--3∙-5=
=3∙-15+4∙15+2∙-15=-45+60-30=-15;
Тогда объем пирамиды A1A2A3A4: равен:
V=16∙A1A2∙A1A3∙A1A4=16∙-15=52.
6) Канонические уравнения прямой A1A2:
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1;
x-14-1=y-3-1-3=z-02-0;
x-13=y-3-4=z2.
7) Уравнение плоскости A1A2A3:
2x+y-z-5=0.
8) Найдем уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1A2A3:
Прямая, проходящая через вершину A4-4,3,5 перпендикулярно грани A1A2A3 (2x+y-z-5=0) имеет направляющий вектор 2,1,-1, и, значит, представляется уравнением:
x--42=y-31=z-5-1;
x+42=y-31=z-5-1.
Сделаем чертеж:
A11,3,0, A24,-1,2, A33,0,1, A4-4,3,5