Даны координаты вершин пирамиды A1, A2, A3, A4.
Найти:
1) проекцию вектора A1A3 на A1A2;2) угол между ребрами A1A4 и A1A2; 3) угол между ребром A1A4 и гранью A1 A2 A3; 4) площадь грани A1A2A3; 5) объем пирамиды; 6) уравнение плоскости A1 A2 A3 и расстояние от точки A4 до этой плоскости; 7) уравнение прямой A1A2; и расстояние от точки A4 до этой прямой; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1 A2 A3; 9) проекцию точки A4 на грань A1 A2 A3. Сделать чертеж.
A1 (1,2,4); A2 (4,3,1); A3 (1,4,2); A4 (3,4,4) .
Ответ
1) пр A1A2A1A3=819
2) (A1A4,A1A2)=49,5o.
3) φ=48,94o.
4) S=22 кв.ед.
5) V=103 куб.ед.
6) A1A2A3: 2x+3y+3z-20=0; d=1022.
7) A1A2:x-13=y-21=z-4-3;d=22219.
8) h: x-32=y-43=z-439) M2311,2911,2911
Решение
1) Найдем координаты векторов A1A3 и A1A2:
A1A2=x2-x1,y2-y1,z2-z1=4-1,3-2,1-4=3,1,-3.
A1A3=1-1,4-2,2-4=0,2,-2.
Проекцию вектора x на вектор y найдем по формуле:
пр A1A2A1A3=A1A3∙ A1A2 A1A2=0∙3+2∙1+-2∙(-3)32+12+(-3)2=0+2+69+1+9=819
2) Угол между двумя ребрами A1A4 и A1A3 определим как угол между их направляющими векторами по формуле:
cos (n1^n2)=n1∙n2n1∙n2.
Найдем направляющий вектор ребра A1A4: n1=3-1,4-2,-4-4=2,2,0.
Направляющий вектор ребра A1A2 равен: n2=3,1,-3.
Найдем скалярное произведение векторов n1и n1 и их модули:
n1∙n2=2∙3+2∙1+0∙-3=6+2+0=8.
n1=22+22+02=4+4+0=8=22;
n2=19.
Тогда,
coan1^n2=822∙19=438=0,65.
(A1A4,A1A2)=n1^n2=arсcos0,65=49,5o.
3) За угол между ребром и гранью принимают угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Она может быть вычислена по формуле:
sinφ=s∙ps∙p
Где p– нормальный вектор грани A1A2A3, s – направляющий вектор ребра A1A4.
Составим общее уравнение грани A1A2A3 , проходящей через точки , , , по формуле:
.
Подставим координаты точек в уравнение:
x-1y-2z-44-13-21-41-14-22-4=0,
x-1y-2z-431-302-2=0.
Вычислим определитель разложением по элементам первой строки:
x-1y-2z-431-302-2=x-1∙1-32-2-y-2∙3-30-2+(z-4)∙3102=
=x-1∙-2+6-y-2∙-6-0+(z-4)∙6-0=x-1∙4-
-y-2∙-6+z-4∙6=4x+6y+6z-4-12-24=4x+6y+6z-40=0.
Получаем уравнение грани A1A2A3:
4x+6y+6z-40=0 или 2x+3y+3z-20=0
.
Тогда, s=2,2,0;p=2,3,3.
Найдем скалярное произведение векторов s и p и их модули:
s∙p=2∙2+2∙3+0∙3=4+6+0=10.
s=22;
p=22+32+32=4+9+9=22.
Тогда, угол между ребром AD и гранью АВС равен:
sinφ=1022∙22=5211≈0,754.
φ=arсsin0,754≈48,94o.
4) Площадь треугольника равна S=12|a × b|. Тогда, площадь грани A1A2A3. найдем по формуле S=12|A1A2 × A1A3|.
A1A2=3,1,-3, A1A3=0,2,-2.
Найдем векторное произведение векторов:
A1A2 × A1A3=ijk31-302-2=i∙1-32-2-j3-30-2+k3102=i∙-2+6-
-j∙-6-0+k∙6-0=4i+6j+6k=4,6,6
Найден модуль векторного произведения:
A1A2 × A1A3=42+62+62=16+36+36=88=222.
Тогда площадь грани A1A2A3 будет равна:
S=12∙222=22 кв.ед.
5) Объем пирамиды A1A2A3A4 находится по формуле:
V=16∙(A1A2 × A1A3)∙A1A4.
A1A2 × A1A3=4,6,6
A1A4=2,2,0.
A1A2 × A1A3∙A1A4=4∙2+6∙2+6∙0=8+12+0=20
Таким образом,
V=16∙20=103 куб.ед.
6) Уравнение плоскости составлено в пункте 3: A1A2A3: 2x+3y+3z-20=0
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
