Даны координаты вершин пирамиды

Пусть А1xA1; yA1; zA1; А2xA2; yA2; zA2; A3xA3; yA3; zA3; А4xA4; yA4; zA4.
Сделаем рисунок.
1)Найдем длину ребра А1А2 по формуле:
А1А2=xA2-xA12+yA2-yA12+zA2-zA12=
=5-22+-6--42+0--32=32+-22+32=9+4+9=22.
2)По теореме косинусов найдем угол между ребрами А1А2 и А1А4:
∠А1А2; А1А4= arccosА1А22+А1А42-A2A422∙А1А2∙ А1А4 (*), для нахождения этого угла, надо найти длины ребер А1А4 и А2А4:
А1А2=22 (нашли в пункте 1))
А1А4=xA4-xA12+yA4-yA12+zA4-zA12=-10-22+-8--42+7--32=
=-122+-42+102=144+16+100=260;
А2А4=xA4-xA22+yA4-yA22+zA4-zA22=
=-10-52+-8--62+7-02=-152+-22+72=
=225+4+49=278.
Подставим полученные значения в формулу (*):
(*)= arccos222+2602-27822∙22∙260=arccos22+260-2782∙22∙260=
=arccos42∙2∙11∙2∙130=arccos44∙1430=arccos14301430=arccos0,0264.
По таблице Брадиса найдем ∠А1А2; А1А4=88°30'.
3)Найдем угол между ребром и гранью ;
Чтобы найти угол между ребром и гранью надо предварительно найти уравнение прямой и уравнение грани .
Запишем уравнение прямой по формуле x-xA1xA4-xA1=y-yA1yA4-yA1=z-zA1zA4-zA1 , подставив координаты соответствующих точек:
x-2-10-2=y--4-8--4=z--37--3 ⇒ x-2-12=y+4-4=z+310 ;
Направляющий вектор прямой : S-12; -4;10.
Напишем уравнение грани (A1A2A3) по формуле уравнения плоскости, проходящей через три точки:
x-xA1y-yA1z-z1xA2-xA1yA2-yA1zA2-zA1xA3-xA1yA3-yA1zA3-zA1=0 ⇒x-2y--4z--35-2-6--40--3-1-23--4-3--3=0 ⇒
⇒x-2y+4z+33-23-370=0 ⇒
⇒x-2∙-2370-y+4∙33-30+z+3∙3-2-37=0 ⇒
⇒x-2∙0-21-y+4∙0+9+z+3∙21-6=0 ⇒
⇒ -21∙x-2-9∙y+4+15∙z+3=0 ⇒
⇒ -21x+42-9y-36+15z+45=0⇒
⇒-21x-9y+15z+51=0 ⇒
⇒ 7x+3y-5z-15=0.
Нормальный вектор плоскости : n7;3; -5.
Тогда
sinA1A4;A1A2A3=n∙Sn∙S ; где n∙S- скалярное произведение векторов
n7;3;-5 и S-12;-4;10 ; n-длина вектора n ; S - длина вектора S .
Найдем
n∙S=-12∙7+-4∙3+10∙-5=-84-12-50=-146.
n=72+32+-52=49+9+25=83.
S=-122+-42+102=144+16+100=260=265