Даны координаты вершин A1 A2 A3 A4 пирамиды

1) Длина ребра находится по формуле расстояния между двумя точками:
A1A3=1-32+0-22+1-(-3)2=4+4+16=24=
=4∙6=26;
2) Угол между двумя ребрами A1A3 и A1A4 выражается через скалярное произведение векторов
A1A3=1-3;0-2;1-(-3)=-2;-2;4;
A1A4=1-3;-2-2;1-(-3)=-2;-4;4
cosA1A3 ,A1A4=A1A3∙A1A4A1A3∙A1A4=
=-2∙-2+-2∙-4+4∙4-22+-22+42∙-22+-42+42=2824∙36=
=2826∙6=736≈0,9526;∠A1A3 ,A1A4=arccos0,9526≈17,720;
3) Угол φ между ребром A1A3 и гранью A1A2A4 находится по формуле
sinφ=n∙ln∙l, где n-направляющий вектор прямой A1A3, l-нормаль плоскости A1A2A4 . В качестве направляющего вектора прямой A1A3 можно взять
n=A1A3=-2;-2;4. Для нахождения нормального вектора плоскости A1A2A4 нужно составить уравнение этой плоскости. Оно имеет вид:
x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0, или x-3y-2z+35-31-2-1+31-3-2-21+3=0, или
x-3y-2z+32-12-2-44=0, или
x-3-12-44-y-222-24+z+32-1-2-4=0, или
x-3-4+8-y-28+4+z+3-8-2=0, или
4x-3-12y-2-10z+3=0, или
2x-3-6y-2-5z+3=0, или
2x-6y-5z-9=0, следовательно, нормальный вектор плоскости A1A2A4 l=2;-6;-5.
Тогда
sinφ=-2∙2-2∙-6+4∙-5-22+-22+42∙22+-62+-52=1224∙65≈0,3038;
φ≈17,690;
4) площадь грани A1A2A4 равна половине модуля векторного произведения
векторов A1A2 и A1A4 :S=12A1A2 × A1A4;
A1A2=5-3;1-2;-1-(-3)=2;-1;2;A1A4=-2;-4;4
A1A2 × A1A4=ijk2-12-2-44=-12-44i-22-24j+2-1-2-4k=
=-4+8i-8+4j+-8-2k=4i-12j-10k;
A1A2 × A1A4=42+-122+(-10)2=260
Тогда площадь грани
S=12260;
5) Объем пирамиды можно вычислить с помощью смешанного произведениявекторов A1A2 , A1A3, A1A4:V=16∙A1A2∙A1A3∙A1A4;
A1A2=2;-1;2;A1A3=-2;-2;4;A1A4=-2;-4;4
A1A2∙A1A3∙A1A4=2-12-2-24-2-44=2∙-24-44+-24-24+2∙-2-2-2-4=
=2-8+16+28-4=24;
Тогда объем пирамиды
V=16∙24=4;
6) Уравнение прямой, проходящей через две данные точки A1 и A4 , имеетвид:
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1, или x-31-3=y-2-2-2=z+31+3, или
x-3-2=y-2-4=z+34;
7) Уравнение плоскости A1A2A4 получено в п.3: 2x-6y-5z-9=0;
8) Нормаль к плоскости A1A2A4 n=2;-6;-5 является направляющим вектором высоты, поэтому уравнение высоты имеет вид:
x-12=y-0-6=z-1-5 или x-12=y-6=z-1-5
Ответ.1)26;2)≈17,720;3)φ≈17,690;4)12260;5)4;6) x-3-2=y-2-4=z+34;
7) 2x-6y-5z-9=0;8)x-12=y-0-6=z-1-5 или x-12=y-6=z-1-5