Даны координаты трех точек: A-3,4, B8,-8, C4,-10.
а) Найти уравнение прямой AH, перпендикулярной прямой ВС в общем, каноническом и параметрическом виде.
б) Определить взаимное расположение векторов AO и BC, где O-середина B.
Ответ
Общее уравнение прямой: -4x-2y-4=0,
x+33=y-40-каноническое уравнение прямой AH,
x=3t-3y=4 ,t∈R-параметрические уравнения прямой AH.
б)
Дано: A-3,4, B8,-8, C4,-10, O-середина BC.
Найти: угол между вектрами AO и BC.
Определить взаимное расположение векторов AO и BC- значит найти угол между ними.
BC=4-8,-10--8=-4,-2.
Найдем координаты точки O:
xO=xB+xC2=8+42=6;yO=yB+yC2=-8-102=-9.
Тогда, O6,-9.
AO=6--3,-9-4=9,-13.
Найдем угол между векторами AO и BC:
cosAO , BC=AO ∙ BCAO ∙ BC
AO ∙ BC=9∙-4+-13∙-2=-36+26=-10.
AO=92+-132=81+169=250=510 ;
BC=-42+-22=25.
cosAO , BC=AO ∙ BCAO ∙ BC=-10510 ∙ 25=-10502=-210.
Так как знак косинуса отрицательный, то векторы AO и BC располагаются под тупым углом, величина которого равна arccos-210.
Ответ. Векторы AO и BC располагаются под тупым углом, величина которого равна arccos-210.
Решение
А)
Дано: A-3,4, B8,-8, C4,-10.
Найти: AH, где AH⊥BC.
Прямая AH проходит через точку A-3,4 . Поскольку на прямой ВС известны координаты точек В и С, то мы можем найти вектор BC, который для прямой ВС называется направляющим.
BC=4-8,-10--8=-4,-2.
Вектор, перпендикулярный прямой, называется для нее нормальным. Значит, BC– нормальный вектор прямой AH.
Получили, что искомая прямая AH задана точкой A-3,4 и нормальным вектором nAH=-4,-2.
Известно, что координаты нормального вектора есть коэффициенты перед х и у в общем уравнении прямой.
Пусть общее уравнение прямой AH имеет вид: Ax+By+C=0.
Тогда вместо А и В подставляем координаты нормального вектора
nAH=-4,-2:
-4x-2y+C=0.
Чтобы найти значение неизвестного параметра С, используем известную на АН точку A-3,4:
-4∙-3-2∙4+C=0⇒12-8+C=0⇒4+C=0⇒C=-4.
Итак, общее уравнение прямой: -4x-2y-4=0.
Для того, чтобы написать каноническое уравнение прямой АН нужно найти еще одну точку, принадлежащую этой прямой.
Подставим в уравнение x=0: -0-2y-4=0⇒-2y=4⇒y=-2.
Получили точку H0;-2.
Найдем направляющий вектор прямой АН:
AH=3,0.
Запишем каноническое уравнение прямой
x-xAl1=y-yAl2, l1,l2-координаты направляющего вектора прямой AH.
x+33=y-40-каноническое уравнение прямой AH.
Можно продолжить запись:
AH: x+33=y-40=t, t∈R
Распишем два неравенства в системе:
x+33=ty-40=t или x=3t-3y=4 -параметрические уравнения прямой AH.
Ответ: Общее уравнение прямой: -4x-2y-4=0,
x+33=y-40-каноническое уравнение прямой AH,
x=3t-3y=4 ,t∈R-параметрические уравнения прямой AH.
б)
Дано: A-3,4, B8,-8, C4,-10, O-середина BC.
Найти: угол между вектрами AO и BC.
Определить взаимное расположение векторов AO и BC- значит найти угол между ними.
BC=4-8,-10--8=-4,-2.
Найдем координаты точки O:
xO=xB+xC2=8+42=6;yO=yB+yC2=-8-102=-9.
Тогда, O6,-9.
AO=6--3,-9-4=9,-13.
Найдем угол между векторами AO и BC:
cosAO , BC=AO ∙ BCAO ∙ BC
AO ∙ BC=9∙-4+-13∙-2=-36+26=-10.
AO=92+-132=81+169=250=510 ;
BC=-42+-22=25.
cosAO , BC=AO ∙ BCAO ∙ BC=-10510 ∙ 25=-10502=-210.
Так как знак косинуса отрицательный, то векторы AO и BC располагаются под тупым углом, величина которого равна arccos-210.
Ответ
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
