Даны координаты точек A17 2 -2 A25 7 -1

1) Координаты векторов.Координаты векторов находим по формуле:X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - ziздесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;Например, для вектора A1A2X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1X = 5-7; Y = 7-2; Z = -1-(-2)A1A2(-2;5;1)A1A3(-2;1;3)A1A4(-5;1;9)A2A3(0;-4;2)A2A4(-3;-4;8)A3A4(-3;0;6)2) Модули векторов (длина ребер пирамиды)Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:4) Площадь грани.Площадь грани можно найти по формуле:гдеНайдем площадь грани A1A2A3Найдем угол между ребрами A1A2(-2;5;1) и A1A3(-2;1;3):Площадь грани A1A2A3Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:Векторное произведение:
i j k
-2 5 1
-2 1 3
=
=i(5·3-1·1) - j((-2)·3-(-2)·1) + k((-2)·1-(-2)·5) = 14i + 4j + 8k7) Уравнение прямойПрямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:Параметрическое уравнение прямой:x=x0+lty=y0+mtz=z0+ntУравнение прямой A1A2(-2,5,1)Параметрическое уравнение прямой:x=7-2ty=2+5tz=-2+tУравнение прямой A1A4(-5,1,9)Параметрическое уравнение прямой:x=7-5ty=2+tz=-2+9t8) Уравнение плоскости.Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
x-x1 y-y1 z-z1
x2-x1 y2-y1 z2-z1
x3-x1 y3-y1 z3-z1
= 0
Уравнение плоскости A1A2A3
x-7 y-2 z+2
-2 5 1
-2 1 3
= 0
(x-7)(5·3-1·1) - (y-2)((-2)·3-(-2)·1) + (z+2)((-2)·1-(-2)·5) = 14x + 4y + 8z-90 = 0Упростим выражение: 7x + 2y + 4z-45 = 011) Уравнение плоскости через вершину A4(2,3,7).Плоскость, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и параллельная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется уравнением:A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0Уравнение плоскости A1A2A3: 7x + 2y + 4z-45 = 07(x-2)+2(y-3)+4(z-7) = 0или7x+2y+4z-48 = 012) Угол между прямой A1A4 и плоскостью A1A2A3.Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле:Уравнение плоскости A1A2A3: 7x + 2y + 4z-45 = 0Уравнение прямой A1A4:γ = arcsin(0.0349) = 2o