Даны координаты четырех точек. а) Написать уравнение плоскости

А) Уравнение плоскости, проходящей через точки , , , имеет вид:
.
Подставим координаты точек в уравнение:
,
.
Вычислим определитель слева разложением по элементам первой строки:
Получаем уравнение искомой плоскости:
б) Согласно геометрическому смыслу модуля векторного произведения векторов, имеем
Найдем координаты векторов , :
Найдем их векторное произведение:
Найдем длину получившегося вектора:
Таким образом, .
в) Первый способ: длину высоты, опущенной из вершины тетраэдра на грань , можно найти через значение объема тетраэдра и площади грани по формуле .
В соответствии с геометрическим смыслом модуля смешанного произведения векторов, имеем:
Найдем координаты векторов , , :
Найдем смешанное произведение векторов , , :
Итого, .
Зная, что имеем , откуда
Второй способ: длину высоты найдем как расстояние от точки до плоскости по формуле:
, где - координаты точки , - общее уравнение плоскости.
Подставляем и получаем:
.
Ответ: а) ; б) ; в)