Даны вершины треугольной пирамиды
.pdf
Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥
Даны вершины треугольной пирамиды. Найти:
а) уравнения граней АВС и ВСD;
б) угол α между гранями АВС и ВСD;
в) уравнение ребра AB;
г) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.
A-1;2; -3, B4; -1;0, C2;1; -2, D1; -6; -5
Решение
Координаты векторов.
AB=4; -1;0--1;2; -3=5; -3; 3
AC=2;1; -2--1;2; -3=3; -1; 1
AD=1; -6; -5--1;2; -3=2; -8; -2
а) уравнения граней АВС и ВСD
Если точки Ax1;y1;z1, Bx2;y2;z2, Cx3;y3;z3 не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0
Уравнение плоскости ABC
x+1y-2z+35-333-11=0
x+1-3*1--1*3- y-25*1-3*3+ z+35-1-3-3= 4y + 4z + 4 = 0
Упростим выражение: y + z + 1= 0
Уравнение плоскости BCD
x-4y+1z-22-2-3-55=0
x-42-5--5*-2- y+1-2*-5--3*-2+ z-0-2*-5--3*2= -20x - 4y + 16z + 76=0
Упростим выражение: -5x - y + 4z + 19 = 0
б) угол α между гранями АВС и ВСD
Косинус угла между плоскостью A1x + B1y + C1 + D = 0 и плоскостью A2x + B2y + C2 + D = 0 равен углу между их нормальными векторами N1(A1, B1, C1) и N2(A2, B2, C2):
cosα=A1A2+B1B2+C1C2A12+B12+C12*A22+B22+C22
Уравнение плоскости ABC: y + z + 1 = 0
Уравнение плоскости BCD: -5x - y + 4z + 19 = 0
cosα=0*-5+1*-1+1*402+12+12*-52+-12+42=0.32
α=arccos0.32=1.245
в) уравнение ребра AB
x-xAxB-xA=y-yAyB-yA=z-zAzB-zA
x+15=y-2-3=z-33
г) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:
Уравнение плоскости ABC: y + z + 1 = 0
x-10=z+61=z+511.