Даны векторы a b c d в некотором базисе

Составим определитель из координат векторов а, b, c и вычислим его:
△=3-24-14-521-1=3*4*-1-1*-5--2*-1*-1-2*-5+4*-1*1-2*4=-11
Так как △≠0, то векторы а, b, c линейно независимы и образуют базис.
Разложение вектора по векторам базиса имеет вид
d=x1a+x2b+x3c,
где x1,x2,x3 – координаты вектора d. Данное векторное равенство равносильно системе уравнений:
3x1-2x2+4x3=-5,-x1+4x2-5x3=11,2x1+x2-x3=1.
Решим систему по правилу Крамера . Главный определитель системы
△=3-24-14-521-1=3*4*-1-1*-5--2*-1*-1-2*-5+4*-1*1-2*4=-11≠0
В этом случае система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам:
x1=△1△, x2=△2△,x3=△3△,
где △ – определитель системы, а △i – определитель, получающийся из определителя системы △ путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при xi, свободными членами (i=1,2,3).
Определитель системы нам известен, вычислим определители:
△1=-5-24114-511-1=-5*4*-1-1*-5--2*11*-1-1*-5+4*11*1-1*4=11
△2=3-54-111-521-1=3*11*-1-1*-5--5*-1*-1-2*-5+4*-1*1-2*11=-55
△3=3-2-5-1411211=3*4*1-1*11--2*-1*1-2*11+-5*-1*1-2*4=-22
Отсюда
x1=△1△=11-11=-1
x2=△2△=-55-11=5
x3=△3△=-22-11=2.
Решение системы x1=-1, x2=5,x3=2 образует совокупность координат вектора d в базисе а, b, c, т.е