Даны векторы a=10 3 1 b1 4 2 c3 1 9

Представим вектор d в виде:
d=x1a+x2b+x3c
В координатной форме:
(1;8;30)=x110;3;1+x21;4;2+x33;1;9
(1;8;30)=10x1+x2+3x3;3x1+4x2+x3;x1+2x2+9x3
Данному равенству соответствует система уравнений:
10x1+x2+3x3=13x1+4x2+x3=8x1+2x2+9x3=30
Решим систему по формулам Крамера:
∆ =1013341129=360+1+18-12-27-20=320
Аналогично вычисляем определители ∆i, полученные из ∆, заменой i-го столбца столбцом свободных коэффициентов.
∆1=1138413029=36+30+48-360-72-2=-320
∆2=10133811309=720+1+270-24-27-300=640
∆3=10113481230=1200+8+6-4-90-160=960
Тогда решение системы найдем по формулам:
x1=∆1∆=-320320=-1; x2=∆2∆=640320=2; x3=960320=3.
d=-a+2b+3c
Если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.
a+λb=10;3;1+λ1;4;2=10+λ;3+4λ;1+2λ
a+λb∙c=30+3λ+3+4λ+9+18λ
30+3λ+3+4λ+9+18λ=0
25λ=-42 => λ=-4225
Найти угол между векторами a и b-c найдем, используя свойство скалярного произведения:
b-c=1;4;2-3;1;9=-2;3;-7
cosα=a∙(b-c)a∙b-c=10∙(-2)+3∙3+1∙(-7)102+32+12∙(-2)2+32+(-7)2=-18110∙62≈-0,218
α=arccos-0,218≈102,59°
Вычислим следующие векторы:
a+2b=10;3;1+21;4;2=(12;11;5)
c-4b=3;1;9-41;8;30=-1;-31;-111
a+2b;c-4b=ijk12115-1-31-111=-1221i-5j-372k+11k+1332j+155i=
=-1066i+1327j-361k
a+2b;c-4b=(-1066;1327;-361)
площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b найдем по формуле:
S=[a,b]
a,b=ijk1031142=6i+j+40k-3k-20j-4i=2i-19j+37k
S=a,b=22+(-19)2+372=1734=176 кв.ед
Для вычисления высоты, найдем объем параллелепипеда, используя свойство смешанного произведения:
V=1031142319=360+18+1-12-27-20=320 куб