Даны координаты вершин треугольника ABC.
Найти:
1) длину стороны AB;
2) уравнения сторон AB и BC и их угловые коэффициенты;
3) угол B в радианах;
4) уравнение медианы AE;
5) уравнение и длину высоты CD;
6) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр;
7) уравнение прямой, проходящей через точку E параллельно стороне AB, и точку ее пересечения с высотой CD;
8) систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC.
3.1.13 A(0;2), В(3;6), С(4;4)
Решение
1) Расстояние d между двумя точками M1(x1;y1) и M2(x2;y2) на плоскости определяется формулой:
d=(x2-x1)2+(y2-y1)2. (1)
Применяя (1), находим длину AB:
AB=(3-0)2+(6-2)2=9+16=25=5
2) Уравнение:
с. (2)
Является уравнением прямой, проходящей через две точки
M1(x1;y1) и M2(x2;y2)
Подставляя в (2) координаты точек A и В, получим уравнение прямой АВ:
x-03-0=y-26-2; x3=y-24;4x=3y-6;или 4x-3y+6=0 (АВ).
Уравнение:
y=kx+b
Называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k – угловой коэффициент, b – величина отрезка, который отсекает прямая на оси Oy, считая от начала координат.
Если прямая задана общим уравнением Ax+By+C=0, то ее угловой коэффициент определяется по формуле k=-AB.
Решив последнее уравнение относительно y, находим уравнение стороны АВ в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом:
-3y=-4x-6, или y=43x+2, откуда kAB=43.
Аналогичным образом, подставляя координаты точек B и С в (2), находим уравнение прямой ВС:
x-34-3=y-64-6; x-31=y-6-2;-2x+6=y-6;или-2x-y+12=0 (ВС)
-y=2x-12, или y=-2x+12, откуда kВС=-2.
3) Если известны угловые коэффициенты двух прямых k1 и k2, то один из углов φ между этими прямыми определяется по формуле:
tgφ=k2-k11+k1k2 (3)
Искомый угол В образован прямыми АВ и ВС, угловые коэффициенты которых известны из предыдущего пункта
. Применяя (3), получим:
tgB=43+21+43*(-2)=4+631-83=103:-53=-10*33*5=-2.
4) Определим координаты точки Е, которая является серединой отрезка ВС по формулам координат середины данного отрезка:
x=x1+x22, y=y1+y22 (4)
Имеем для точки Е: x=3+42=3,5, y=6+42=5
Таким образом, Е(3,5;5).
Подставляя в (2) координаты точек А и Е, находим уравнение медианы АЕ:
x-03,5-0=y-25-2; x3,5=y-23;3x+3,5y-7=0 (АЕ).
5) Уравнение:
y-y0=k(x-x0) (5)
Является уравнением прямой, которая проходит через точку M0(x0;y0) и имеет угловой коэффициент k.
Высота CD перпендикулярна стороне АВ. Воспользуемся условием перпендикулярности 2-x прямых на плоскости. Признаком перпендикулярности двух прямых является соотношение:
k1k2=-1 или k2=-1k1
Иначе говоря, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
