Даны координаты вершин пирамиды ABCD

1) Если заданы точки M1x1,y1,z1, M2x2,y2,z2, то для вектора a=M1M2
ax=x2-x1, ay=y2-y1,az=z2-z1
то есть
M1M2=x2-x1i+y2-y1j+z2-z1k.
Воспользовавшись этой формулой и координатами заданных точек A, В, С, D, получим:
AB=-1-1i+6-3j+2-2k=-2i+3j+0k
AC=-1-1i+3-3j+8-2k=-2i+0j+6k
AD=1-1i+6-3j+10-2k=0i+3j+8k
Если вектор задан формулой a=axi+ayj+azk, то его модуль вычисляется следующим образом:
a=ax2+ay2+az2.
Используя эту формулу, получаем модули найденных векторов:
AB=-22+32+02=13;
AC=-22+02+62=210;
AD=02+32+82=73.
2) угол между векторами AD и AC определим из соотношения
cosφ=cosAD,AC=AD∙AC AD∙ AC
cosφ=0∙-2+3∙0+8∙6210∙73=482730=12365730≈0,8883,
φ=arccos0,8883=27,3420.
3) Известно, что
прba=a∙bb,
то есть в нашем случае
прABAD=AB∙ADAB==-2∙0+3∙3+0∙813=913=91313≈2,496.
4) Площадь грани ABCнаходим с помощью векторного произведения векторов . Координаты вектора
AB=-2;3;0,AC=-2;0;6,
тогда площадь треугольника находим по формуле
S∆ABC=12AB×AC.
Найдем векторное произведение векторов
AB×AC=ijk-230-206=
=i3006-j-20-26+k -23-20=18i +12j+6k
модуль векторного произведения равен
AB×AC=182+122+62=324+144+36=614
откуда находим площадь треугольника
S∆ABC=12∙614≈11,225кв.ед.
5) Объем пирамиды находим с помощью смешанного произведения векторов по формуле
Vпир=16ABAC×AD,
так как выше найдены координаты векторов
AB=-2;3;0,AC=-2;0;6,AD=0;3;8
подставим координаты векторов в формулу, получим
Vпир=16ABAC×AD=16-230-206038=
=16-2∙0638-3∙-2608+0∙-2003=
=16-2∙-18-3∙-16+0∙-6=1636+48=
=1684=14куб.ед.
6) Известно, что уравнение прямой, проходящей через две заданные точки пространстваM1x1,y1,z1 и M2x2,y2,z2 , имеет вид:
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1
Подставив координаты точек A1;3;2 и C-1;3;8 , получим
x-1-1-1=y—33—3=z-28-2
то есть уравнение ребра AC окончательно запишется следующим образом:
x-1-2=y-30=z-26.
7) Для того чтобы найти уравнение плоскости ABC , воспользуемся формулой для плоскости, проходящей через три точки:
x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0.
Поставим сюда координаты точек A,B и C:
x-1y-3z-2-1-16-32-2-1-13-38-2=x-1y-3z-2-230-206=0