Даны координаты вершин пирамиды ABCD

1. Известно, что произвольный вектор a представляется в системе орт i, j, k по формуле:
a=axi+ayj+azk, (1)
Где ax, ay,az координаты вектора a в системе координат, порожденной ортами, причем
ax=прaxa, ay=прaya, az=прaza.
Если заданы точки M1x1,y1,z1, M2x2,y2,z2 то для вектора a=M1M2
ax=x2-x1, ay=y2-y1, az=z2-z1,
M1M2=x2-x1i+y2-y1j+(z2-z1)k. (2)
Воспользовавшись формулой (2) и координатами заданных точек A, B, C, D, получим:
AB=6-2i+1-(-3)j+-1-1k=4i+4j-2k
AC=4-2i+8-(-3)j+-9-1k=2i+11j-10k
AD=2-2i+-1-(-3)j+2-1k=2j+k
Если вектор a задан формулой (1), то его модуль вычисляется следующим образом:
a=a2x+a2y+a2z . (3)
Используя формулу (3), получаем модули найденных векторов:
AB=42+42+(-2)2=16+16+4=36=6;
AС=22+112+(-10)2=4+121+100=225=15;
AD=02+22+12=0+4+1=5.
Известна формула:
cosa,b=a*ba*b,
Где a*b скалярное произведение векторов a и b, которое можно вычислить следующим образом:
a*b=axbx+ayby+azbz.
У нас
cosφ=cosAB, AC=AB*ACAB*AC=4*2+4*11+(-2*-10)6*15=
=8+44+2090=7290=0,8
То есть φ≈36°.
3