Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4

1) Найдем координаты векторов А1А3 и А1А2 , вычитая из координат конца каждого вектора соответствующие координаты начала:
А1А3=3-1;5-2;6-5=(2;3;1)
А1А2=5-1;1-2;7-2=(4;-1;5)
|А1А3|=22+32+12=14
|А1А2|=42+(-1)2+52=42
А1А3∙ А1А2=2∙4+3∙(-1)+1∙5=10
проекцию вектора А1А3 на вектор А1А2 будет
1014∙42=107∙2∙7∙3∙2=10143≈0,42(ед)
2) Найдем координаты вектора
А1А4=4-1;2-2;9-5=(3;0;4)
А1А2=5-1;1-2;7-2=(4;-1;5)
А1А4∙ А1А2= |А1А2|∙ |А1А2|∙cosφ,
где φ угол между векторами А1А2и А1А4. Отсюда выразим cosφ
cosφ= А1А4∙ А1А2 |А1А2|∙ |А1А2|=3∙4+0∙(-1)+4∙5 32+02+42∙42+(-1)2+52=-8542=
=-85∙6,48=-832,4=-0,2469
cosφ≈-0,2469
φ=arccos-0,2469=π-arccos0,2469=180°-75°42'=104°18'
φ=104°18'
3) При решении заданий пунктов 3, 4, 7, 8 полезно найти какой-либо
вектор n , перпендикулярный плоскости А1А2А3. В качестве такого вектора можно взять векторное произведение n=A1A2×A1A3
А1А2=(4;-1;5)
А1А3=(2;3;1)
n=ijk4-15231=i-1531-j4521+k4-123=-16i+6j+14k
n=-16;6;14
Угол θ– угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3,
угол – угол между векторами А1А4и n.
Если эти векторы лежат по одну сторону плоскости,
то θ=π2-, sin =cos , а если по разные стороны, то
θ=-π2, sin =-cos
Объединяем оба возможных случая единой формулой:
sin =cos
sinθ= А1А4∙ n А1А4∙ n
А1А4=3;0;4;n=-16;6;14
sinθ=3∙-16+0∙6+4∙1432+02+42(-16)2+62+142=825488≈85∙8,35=0,1916
sinθ≈0,1916
θ≈11°03' (определяем по таблице Брадиса)
4) Длина векторного произведения n=A1A2×A1A3 равна площади параллелограмма, построенного на векторах A1A2 и A1A3 , поэтому площадь треугольника А1А2А3 вычисляем по формуле
S∆A1A2A3=12n=12(-16)2+62+142=12∙488≈0,5∙8,35=4,175(ед2)
5) Объем пирамиды, построенной на векторах А1А2,А1А3,А1А4, равен одной шестой объема параллелепипеда, построенного на тех же векторах