Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4

Сделаем рисунок.
Пусть А1xA1; yA1; zA1; А2xA2; yA2; zA2; A3xA3; yA3; zA3; А4xA4; yA4; zA4.
а)Найдем длину ребра А1А2 по формуле:
А1А2=xA2-xA12+yA2-yA12+zA2-zA12=-2-12+1-52+4-82=
=-32+-42+-42=9+16+16=41.
б)По теореме косинусов найдем угол между ребрами А1А2 и А1А4:
∠А1А2; А1А4= arccosА1А22+А1А42-A2A422∙А1А2∙ А1А4 (*), для нахождения этого угла, надо найти длины ребер А1А4 и А2А4:
А1А4=xA4-xA12+yA4-yA12+zA4-zA12=1-12+-1-52+0-82=
=02+-62+-82=36+64=100=10;
А2А4=xA4-xA22+yA4-yA22+zA4-zA22=
=1--22+-1-12+0-42=32+-22+-42=9+4+16=29
Подставим полученные значения в формулу (*):
(*)= arccos412+102-2922∙41∙10=arccos41+100-292∙41∙10=
=arccos11220∙41=arccos2841205=arccos0,8746
По таблице Брадиса найдем ∠А1А2; А1А4=29°.
в) Составим уравнение прямой А1А2 по формуле:
x-xA1xA2-xA1=y-yA1yA2-yA1=z-zA1zA2-zA1 < => x-1-2-1=y-51-5=z-84-8 < =>
< => x-1-3=y-5-4=z-8-4.
г) Напишем уравнение грани (A1A2A3) по формуле уравнения плоскости, проходящей через три точки:
x-xA1y-yA1z-z1xA2-xA1yA2-yA1zA2-zA1xA3-xA1yA3-yA1zA3-zA1=0 < =>x-1y-5z-8-2-11-54-83-1-2-5-3-8=0 < =>
< =>x-1∙-4-4-7-11-y-5∙-3-42-11+z-8∙-3-42-7=0< =>
< =>x-1∙44-28-y-5∙33+8+z-8∙21+8=0 < =>
< =>x-1∙16-y-5∙41+z-8∙29=0 < =>16x-16-41y+205+29z-232=0
< => 16x-41y+29z-43=0
д) Найдем площадь грани А1А2А3:
S А1А2А3=12yA2-yA1zA2-zA1yA3-yA1zA3-zA12+xA2-xA1zA2-zA1xA3-xA1zA3-zA12+xA2-xA1yA2-yA1xA3-xA1yA3-yA12=
=121-54-8-2-5-3-82+-2-14-83-1-3-82+-2-11-53-1-2-52=
=12-4-4-7-112+-3-42-112+-3-42-72=
=1244-282+33+82+21+82=12162+412+292=12256+1681+841=.
=122778≈1252,71≈26,35.
е) Найдем объем пирамиды по формуле:
V=16xA2-xA1yA2-yA1zA2-zA1xA3-xA1yA3-yA1zA3-zA1xA4-xA1yA4-yA1zA4-zA1=
=16-2-11-54-83-1-2-5-3-81-1-1-50-8=16-3-4-42-7-110-6-8=
=16-3∙-7-11-6-8--4∙2-110-8+-4∙2-70-6=
=16-3∙56-66--4∙-16+0+-4∙-12+0=
=16-3∙-10+4∙-16-4∙-12=1630-64+48=16∙14=146=73