Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4

Сделаем чертеж
найдем длину ребра А1А2
Найдем по формуле
A1A2=x2-x12+y2-y12+z2-z12=
=4-22+5-(-3)2+1-22=4+64+1=69≈8,31 ед.;
составим уравнение прямой А1А2
Уравнение прямой A1A2 составим по точке A12;-3;2  и направляющему вектору
A1A2=x2-x1;y2-y1;z2-z1=4-2;5+3;1-2=2;8;-1
x-x1ρ1=y-y1ρ2=z-z1ρ3
x-22=y+38=z-2-1
составить уравнение плоскости А1А2А3
Уравнение плоскости составим по точке А12;-3;2 и вектору нормали N
А1А3=-2-2;2--3;3-2=(-4;5;1)
N=А1А2хА1А3=ijk28-1-451=8-151i-2-1-41j+28-45k=
=8+5i-2-4j+10+32k=13i+2j+42k;
13x-2+2y+3+42z-2=0;
13x-26+2y+6+42z-84=0;
А1А2А3:13x+2y+42z-104=0
найти площадь грани А1А2А3 с использованием векторного произведения двух векторов
SА1А2А3=12А1А2хА1А3
N=132+22+422=169+4+1764=1937≈44,01
SА1А2А3=12А1А2хА1А3=12∙44,01≈22( ед.2)
найти длину высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3;
Длину высоты А4Н найдем как расстояние от точки А40;1;10 до плоскости А1А2А3
A4H=ρА4;А1А2А3=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2=
=13∙0+2∙1+42∙10-104132+22+422=31844,01≈7,23(ед.)
найдем объем пирамиды с использованием смешанного произведения векторов
А1А2=2;8;-1;А1А3=-4;5;1
А1А4=0-2;1--3;10-2=-2;4;8;
ρ=А1А2∙А1А3∙А1А4=28-1-451-248=
=2∙5148-8∙-41-28-1∙-45-24=
=240-4-8-32+2--16+10=72+240+6=318
V=16ρ=3186=53( ед.3)
найти угол между ребрами А1А2и А1А3
А1А2=2;8;-1;А1А3=-4;5;1;
А1А2≈8,31 ед.
А1А3=-42+52+12≈6,48( ед.)
cosА1А2;А1А3=А1А2∙А1А3А1А2А1А3=2(-4)+8∙5+(-1)∙18,31∙6,48≈3153,85≈0,58
∠А1А2;А1А3=arccos0,58≈0,95 рад≈54,50
найти угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3
А1А4=(-2;4;8)
А1А4=(-2)2+42+82=84≈9,17(ед.)
sinφ=А1А4∙NА1А4|∙|N=-2∙13+4∙2+8∙429,17∙44,01≈0,78
φ=arcsin0,78≈0,89 рад