Даны координаты точек A3 1 4 B-1 6 1 C-1

1) длину ребра АВ
AB=-1-3;6-1;1-4=-4;5;-3-направляющий вектор AB
AB=-42+52+-32=52.
2) уравнение плоскости, проходящей через точки А, В и С
Уравнение плоскости ABC найдём через три известные точки:
x-xAy-yAz-zAxB-xAyB-yAzB-zAxC-xAyC-yAzC-zA=0,
x-3y-1z-4-1-36-11-4-1-31-16-4=x-3y-1z-4-45-3-402=x-35-302-
-y-1-4-3-42+z-4-45-40=10x-3+20y-1+20z-4
=10x-30+20y-20+20z-80=10x+20y+20z-130=0, или
x+2y+2z-13=0.
3) уравнение высоты, опущенной из точки D на плоскость АВС
Высота, опущенная на грань ABC имеет вектор нормали (направляющий) вектор нормали самой грани ABC: x+2y+2z-13=0, s=1;2;2
Следовательно, уравнение прямой, проходящей через точку D=(0;4;-1) и имеющей направляющий вектор s=1;2;2 имеет вид
x1=y-42=z+12.
4) площадь грани АВС
Площадь грани ABC равна половине модуля векторного произведения векторов, образующих эту грань, то есть AB и AC.
SABC=12AB×AC.
AB=-4;5;-3
AC=-1-3;1-1;6-4=-4;0;2
Найдём AB×AC=ijk-45-3-402=i5-302-j-4-3-42+
+k-45-40=10i+20j+20k.
SABC=12AB×AC=12102+202+202=12∙30=15.
5) объем пирамиды ABCD
Объём пирамиды равен одной шестой от объёма параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, AD