Даны дифференциальные уравнения 2-го порядка

Сделаем замену:
y'=z;y''=z'
z'x2+1=2xz
z'=2xzx2+1
dzdx=2xzx2+1
dzz=2xdxx2+1
lnz=lnx2+1+C1
z=x2+1C1
Сделаем обратную замену:
y'=x2+1C1
Найдем C1 из условия y0=1;y'0=3:
3=02+1C1
C1=3
y'=x2+13
y=3x2+1dx=3x33+3x+C2=x3+3x+C2
Найдем C2 из условия y0=1;y'0=3:
1=03+3*0+C2
C2=1
Частное решение имеет вид:
y=x3+3x+1