Даны четыре вектора a=3 4 -3 b=2 1 -4

Составим определитель из координат векторов а, b, c и вычислим его:
△=32-5415-3-40=3*1*0--4*5-2*4*0--3*5+-5*4*-4--3*1=95
Так как △≠0, то векторы а, b, c линейно независимы и образуют базис.
Разложение вектора по векторам базиса имеет вид
d=x1a+x2b+x3c,
где x1,x2,x3 – координаты вектора d. Данное векторное равенство равносильно системе уравнений:
3x1+2x2-5x3=8,4x1+x2+5x3=-16,-3x1-4x2=17.
Решим систему по правилу Крамера . Главный определитель системы
△=32-5415-3-40=3*1*0--4*5-2*4*0--3*5+-5*4*-4--3*1=95≠0
В этом случае система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам:
x1=△1△, x2=△2△,x3=△3△,
где △ – определитель системы, а △i – определитель, получающийся из определителя системы △ путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при xi, свободными членами (i=1,2,3).
Определитель системы нам известен, вычислим определители:
△1=82-5-161517-40=8*1*0--4*5-2*-16*0-17*5+-5*-16*-4-17*1=95
△2=38-54-165-3170=3*-16*0-17*5-8*4*0--3*5+-5*4*17--3*-16=-475
△3=32841-16-3-417=3*1*17--4*-16-2*4*17--3*-16+8*4*-4--3*1=-285
Отсюда
x1=△1△=9595=1, x2=△2△=-47595=-5,x3=△3△=-28595=-3.
Решение системы x1=1, x2=-5,x3=-3 образует совокупность координат вектора d в базисе а, b, c, т.е