Даны четыре точки A7 5 3 B4 5 7 C9 7

А) Объём пирамиды ищем следующим образом:
V= 16xB-xAyB-yAzB-zAxC-xAyC-yAzC-zAxD-xAyD-yAzD-zA=164-75-57-39-77-53-38-75-58-3=16-304220105=Раскладываем определительпо элементам первой строки=
=16-3∙2005-0∙2015+4∙2210=16-3∙10-0∙10+4∙(-2)=16∙-38=193 (куб.ед.)
б) Сначала найдём площадь грани ABC:
SABC=12yB-yAzB-zAyC-yAzC-zA2+xB-xAzB-zAxC-xAzC-zA2+xB-xAyB-yAxC-xAyC-yA2=125-57-37-53-32+4-77-39-73-32+4-75-59-77-52
=1204202+-34202+-30222=12∙-82+-82+-62=12∙64+64+36=41≈6,403 (кв.ед.)
Теперь найдём длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC . Считаем, что точка H - её основание:
DH= 3VSABC=3∙19341=1941≈2,967 (ед.)
Найдём уравнение плоскости ABC, используя уравнение плоскости, проходящей через три точки:
ABC:x-xAy-yAz-zAxB-xAyB-yAzB-zAxC-xAyC-yAzC-zA=0⇔x-7y-5z-34-75-57-39-77-53-3=0⇔x-7y-5z-3-304220=0⟺x-7∙0420-
-y-5∙-3420+z-3∙-3022=0⟺-8∙x-7+8∙y-5-6∙z-3=0⟺4x-4y+3z-17=0
Тогда составим уравнение высоты DH по нормальному вектору плоскости ABC n=(4;-4;3) и точке D8;5;8:
DH: x-xDxn=y-yDyn=z-zDzn⟺x-84=y-5-4=z-83
в) Найдём направляющий вектор ребра AD:
nAD=xD-xA; yD-yA; zD-zA=8-7;5-5;8-3=1;0;5
Найдём координаты основания медианы AM, опущенной из точки A7;5;3 на сторону BC:
xM=xB+xC2=9+42=132,yM=yB+yC2=5+72=6,zM=zB+zC2=7+32=5⟹M132; 6; 5
Найдём направляющий вектор ребра AM:
nAM=xM-xA; yM-yA; zM-zA=132-7;6-5;5-3=-12;1;2
Косинус угла между ребром AD и медианой треугольника ABC, проведённой из вершины A, находим как косинус угла между векторами nAD и nAM:
cosα=1∙-12+0∙1+5∙212+02+52∙-122+12+22=-12+0+1026∙214=19226∙212=1926∙21≈1923,36≈0,813⟹
α=arccos0,813≈35,61°
г) Уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости ABC, найдём, используя уравнения плоскости, проходящей через точку с направляющим вектором