Дано: временной ряд зависимости средней (за 10 дней) выручки продуктового магазина в течении года. (табл. 5). Предполагается, что имеется временной тренд, связанный с развитием и расширением магазина, и, кроме этого, циклическая тенденция, которую можно объяснить периодичностью выдачи заработной платы рабочим соседнего крупного предприятия.
Таблица 5
Декада 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
Временной ряд – (в первом столбце - номер варианта)
3 84,1 82,6 83,8 87,5 87,3 88,1 93 92,3 93,6 98,4 97,2 97,1 102 103 102 107 107 107
112 111 112 117 117 117 122 121 123 126 127 127 131 130 132 137 135 135
Требуется:
1. исследовать структуру временного ряда;
2. найти модель тенденции ряда (тренд);
3. найти модель циклической (сезонной) компоненты
Решение
Исследуем структуру временного ряда.
Сдвигаем исходный ряд на один уровень. Выполним расчет коэффициента автокорреляции первого порядка.
Определим выборочные средние:
Выборочные средние:
;
;
.
Выборочные дисперсии:
;
.
Среднеквадратическое отклонение:
;
.
Рассчитываем линейный коэффициент автокорреляции rt,t-1 по формуле:
.
Аналогично рассчитываем коэффициент автокорреляции второго порядка:
.
Рассчитываем коэффициент автокорреляции третьего порядка:
.
Рассчитываем коэффициент автокорреляции четвертого порядка:
.
Рассчитываем коэффициент автокорреляции пятого порядка:
.
Представим результаты расчетов в виде таблицы:
Лаг (порядок) rt,t-L
1 0,9898
2 0,9883
3 0,9985
4 0,9880
5 0,9863
Таким образом, по результатам расчетов можем сделать вывод, что наиболее высокий коэффициент корреляции наблюдается при значении лага, равном трем, следовательно, ряд имеет циклические колебания периодичностью в месяц.
2) Найдем модель тенденции ряда (тренд).
Построим поле корреляции, характеризующее зависимость у от t (рис. 1).
Рис. 1. Поле корреляции
На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу о том, что связь между значениями t и у носит линейный характер.
Найдем линейную регрессионную зависимость:
Для оценки параметров и используем МНК (метод наименьших квадратов). Формально критерий МНК можно записать так:
Система нормальных уравнений имеет вид:
Составим расчетную таблицу для определения коэффициентов уравнения регрессии и дальнейших вычислений (табл. 1).
Таблица 1
Вспомогательная таблица для расчетов
Номер
1 1 84,1 1 7072,81 84,1
2 2 82,6 4 6822,76 165,2
3 3 83,8 9 7022,44 251,4
4 4 87,5 16 7656,25 350
5 5 87,3 25 7621,29 436,5
6 6 88,1 36 7761,61 528,6
7 7 93 49 8649 651
8 8 92,3 64 8519,29 738,4
9 9 93,6 81 8760,96 842,4
10 10 98,4 100 9682,56 984
11 11 97,2 121 9447,84 1069,2
12 12 97,1 144 9428,41 1165,2
13 13 102 169 10404 1326
14 14 103 196 10609 1442
15 15 102 225 10404 1530
16 16 107 256 11449 1712
17 17 107 289 11449 1819
18 18 107 324 11449 1926
19 19 112 361 12544 2128
20 20 111 400 12321 2220
21 21 112 441 12544 2352
22 22 117 484 13689 2574
23 23 117 529 13689 2691
24 24 117 576 13689 2808
25 25 122 625 14884 3050
26 26 121 676 14641 3146
27 27 123 729 15129 3321
28 28 126 784 15876 3528
29 29 127 841 16129 3683
30 30 127 900 16129 3810
31 31 131 961 17161 4061
32 32 130 1024 16900 4160
33 33 132 1089 17424 4356
34 34 137 1156 18769 4658
35 35 135 1225 18225 4725
36 36 135 1296 18225 4860
666 3945 16206 442177,2 79152
18,5 109,5833 450,1667 12282,7 2198,667
Для исходных данных система уравнений имеет вид:
Решаем полученную систему уравнений и получаем эмпирические коэффициенты:
;
.
Таким образом, уравнение тренда имеет вид:
3) Найдем модель циклической (сезонной) компоненты.
Найдем аддитивную модель временного ряда.
Общий вид аддитивной модели временного ряда следующий:
Y = T + S + E
Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент.
Рассчитаем компоненты аддитивной модели временного ряда.
Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого найдем скользящие средние (табл. 2). Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.
Также найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (табл. 2).
Таблица 2
Вспомогательная таблица для расчетов
t yt Скользящая средняя Оценка сезонной компоненты
1 74,4 - -
2 73,2 83,5 -0,9
3 74,3 84,633 -0,833
4 79,9 86,2 1,3
5 78,7 87,633 -0,333
6 79,7 89,467 -1,367
7 84,1 91,133 1,867
8 84,3 92,967 -0,667
9 85,4 94,767 -1,167
10 89,3 96,4 2
11 89,6 97,567 -0,367
12 91 98,767 -1,667
13 94,7 100,7 1,3
14 95,2 102,333 0,667
15 95,4 104 -2
16 101 105,333 1,667
17 101 107 0
18 100 108,667 -1,667
19 107 110 2
20 105 111,667 -0,667
21 106 113,333 -1,333
22 111 115,333 1,667
23 112 117 0
24 113 118,667 -1,667
25 117 120 2
26 116 122 -1
27 117 123,333 -0,333
28 122 125,333 0,667
29 121 126,667 0,333
30 122 128,333 -1,333
31 127 129,3333 1,667
32 127 131 -1
33 128 133 -1
34 133 134,667 2,333
35 132 135,667 -0,667
36 134 - -
Шаг 2. Используем оценки сезонной компоненты для расчета значений сезонной компоненты S. Для этого найдем средние за каждые десять дней (по всем месяцам) оценки сезонной компоненты Si. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем периодам должна быть равна нулю.
Показатели 1 2 3
1
-0,9 -0,83333
2 1,3 -0,33333 -1,36667
3 1,866667 -0,66667 -1,16667
4 2 -0,36667 -1,66667
5 1,3 0,666667 -2
6 1,666667 0 -1,66667
7 2 -0,66667 -1,33333
8 1,666667 0 -1,66667
9 2 -1 -0,33333
10 0,666667 0,333333 -1,33333
11 1,666667 -1 -1
12 2,333333 -0,66667
Всего за период 18,46667 -4,6 -14,3667
Средняя оценка сезонной компоненты 1,678788 -0,38333 -1,30606
Скорректированная сезонная компонента, Si 1,682323 -0,38333 -1,30606
Для данной модели имеем:
1,679 – 0,383 – 1,306 = –0,0106
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
