Дано:
Определить скорость тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным S.
Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя; начальное положение системы показано на рисунке. Учитывая трение скольжения тела 1, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми. Блоки и катки, для которых радиусы инерции в таблице не указаны, считать сплошными однородными цилиндрами. Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям.
Решение
Запишем теорему об изменении кинетической энергии в конечной форме для механической системы
T-T0=AFke+AFki, 1
где Т – кинетическая энергия системы в конечный момент времени;
Т0 – кинетическая энергия системы в начальный момент времени;
AFke – сумма работ внешних сил на перемещении механической системы за промежуток времени между начальным и конечным моментами;
AFki – сумма работ внешних сил системы на том же перемещении.
Для рассматриваемой системы, состоящей из абсолютно твёрдых тел, соединённых нерастяжимыми нитями и стержнями
AFki=0.
Так как в начальном положении система находится в покое, то Т0 = 0.
Следовательно уравнение (1) принимает вид:
T=AFke
.
Напишем кинематические соотношения между скоростями и перемещениями точек системы, т.е. уравнения связей, при этом скорости и перемещения выразим соответственно через скорости и перемещения груза 1.
Скорости и перемещения тел
v1=ω2r2 ⇒ ω2=v1r2, r2=0,8R2=810∙20=16 см.
v2=ω2R2=v1r2R2=54v1
ω2R2=ω3R3 ⇒ ω3=ω2R2R3=v1R2r2R3
vC=v22=58v1
ω=vCOA=58∙v1R2+R3
При s:
φ=58∙sR2+R3=58∙0,28π0,2+0,15=π2
Моменты инерции тел
J2=m2i2x2, J3=m3R322
Кинетическая энергия тел
В конечный момент времен кинетическая энергия системы складывается из кинетических энергий всех тел системы
T=T1+T2+T3.
Найдём кинетическую энергию каждого тела.
Груз 1 находится в поступательном движении, поэтому его кинетическая энергия записывается так:
T1=m1v122.
Блок 2 находится во вращательном движении, поэтому выражения кинетической энергий равна:
T2=I2ω222=mi2x2∙v12r22=mv12∙0,1820,162=8164mv12
Каток 3 находится в плоскопараллельном движении, и выражение его кинетической энергии состоит из двух слагаемых
T3=m3vC22+I3ω322=mR3222∙2564∙v12R32+m2∙2564v12=75256mv12
Подставим сюда скорости тел системы, выраженные через скорость груза, моменты инерции тел и вынесем V122 за скобку
T=m1v122+I2ω222+m3vC22+I3ω322==v122128256+324256+75256=527256mv12
Работа внешних сил
Работа силы тяжести тела 1:
A1=mgsinα∙s
Работа силы трения тела 1:
Aтр=-Fтр∙s=-N1∙f∙s=-mgfcosα∙s
Работа силы тяжести тела 3:
A3=mg∙hC
Высота подъёма центра тяжести тела 3:
hC=R2+R3sinφ=0,2+0,15sinπ2=0,35 м
Запишем сумму работ:
AFke=A1+Aтр+A3=mgsinα-fcosαs-hC==mgsin60°-0,12∙cos60°∙0,28π-0,35=0,359
Скорость тела 1 при s
T=AFke
Заказать работу
на новый заказ в Автор24.
