Дано нелинейное алгебраическое уравнение

Fx=x4+x3-30x2-60
f4=-220<0; f8=2628>0.
На концах отрезка [4, 8] функция имеет разные знаки, т.е. хотя бы один корень на данном отрезке есть.
Построим график многочлена fx на отрезке [4, 8]:
Таким образом, на отрезке 4;8 многочлен fx монотонно возрастает, и имеет единственный корень.
2.1. Алгоритм метода бисекции.
Шаг 1
вычисляем значение функции в середине отрезка a;b
c=b+a2
Шаг 2
Из двух отрезков a;c и c;b выбираем один, в котором произведение значений функций на концах меньше нуля
Т.е. если fa∙fc<0, то переходим к шагу 1, приняв, в качестве конца отрезка b=с, иначе в качестве начала отрезка принимаем a=c
Процесс продолжается, пока b-a>2ε.
В качестве ответа принимается x=b+a2.
Найдём решение на отрезке 0;1, вычисления сведём в таблицу:
n a c b fa
fc
f(b)
fa∙fc
fb∙fc
b-a
0 4 6 8 -220 372 2628 <0 >0 4
1 4 5 6 -220 -60 372 >0 <0 2
2 5 5,5 6 -60 113,938 372 <0 >0 1
3 5 5,25 5,5 -60 17,5195 113,938 <0 >0 0,5
4 5 5,125 5,25 -60 -23,4744 17,5195 >0 <0 0,25
5 5,125 5,1875 5,25 -23,4744 -3,55174 17,5195 >0 <0 0,125
6 5,1875 5,21875 5,25 -3,55174 6,83832 17,5195 <0 >0 0,0625
7 5,1875 5,20313 5,21875 -3,55174 1,60714 6,83832 <0 >0 0,03125
8 5,1875 5,19531 5,20313 -3,55174 -0,9813 1,60714 >0 <0 0,01563
На восьмом шаге условие b-a>2ε=0.02, следовательно, в качестве решения задачи с точностью 0.01 принимаем корень
x*=b+a2≈5.195.
2.2 . По методу Ньютона пока не выполнено условие остановки, в качестве которого можно взять
xn+1- xn<ε
(то есть погрешность в нужных пределах), вычисляем новое приближение:
xn+1=xn-f(xn)f'(xn)
Производную можно вычислить аналитически:
f'x=4x3+3x2-60x.
а) В качестве исходного приближения сначала выберем конец исходного отрезка x0=4.
Вычисления сведём в таблицу:
n xn
fx
f'x
xn+1
xn+1- xn
0 4 -220 64 7,43750 3,43750
1 7,43750 1751,828 1365,362 6,15445 1,28305
2 6,15445 471,4823 676,8194 5,45784 0,69661
3 5,45784 96,26167 412,205 5,22431 0,23353
4 5,22431 8,716106 338,7776 5,19858 0,02573
5 5,19858 0,098543 331,1318 5,19828 0,00030
Поскольку x5- x4=0.0003<0.001,
То принимаем в качестве значения корня с точностью 0.001:
x*≈5.1983.
б) В качестве исходного приближения сначала выберем начало исходного отрезка x0=8.
Вычисления сведём в таблицу:
n xn
fx
f'x
xn+1
xn+1- xn
0 8 2628 1760 6,50682 1,49318
1 6,50682 737,8937 838,5674 5,62687 0,87995
2 5,62687 170,7684 469,998 5,26353 0,36334
3 5,26353 22,23681 350,6028 5,20011 0,06342
4 5,20011 0,605913 331,5844 5,19828 0,00183
5 5,19828 0,000494 331,0443 5,19828 <0.00001
Поскольку x5- x4<0.001,
То принимаем в качестве значения корня с точностью 0.001:
x*≈5.1983.
в) В качестве исходного приближения выберем середину исходного отрезка x0=6.
Вычисления сведём в таблицу:
n xn
fx
f'x
xn+1
xn+1- xn
0 6 372 612 5,39216 0,60784
1 5,39216 69,89451 390,8122 5,21331 0,17884
2 5,21331 5,009671 335,4999 5,19838 0,01493
3 5,19838 0,033085 331,0734 5,19828 0,00010
Поскольку x3- x2=0.0001<0.001,
То принимаем в качестве значения корня с точностью 0.001:
x*≈5.1983.
Вывод:
Метод Ньютона обладает высокой скоростью сходимости, однако на каждом шаге он требует вычисления не только значения функции, но и ее производной.
Чем ближе начальное приближение к корню, тем меньше итераций требуется для нахождения корня с заданной точностью.