Дано. ABC-трапеция AD=3 см AB=6 см CD=10 см

На рисунке изображено тело вращения при вращении трапеции ABCD вокруг ее основания CD. Площадь поверхности полученного тела можно найти как сумму площадей поверхностей цилиндра и конуса:
Sпов.общ=Sпов.цил+Sпов.кон=Sбок.цил+2∙Sосн.цил+Sбок.кон+Sосн.кон
Так как одно из оснований цилиндра совпадает с основанием конуса и лежит внутри тела, то его нужно вычесть:
Sпов.общ=Sбок.цил+2∙Sосн.цил+Sбок.кон+Sосн.кон-Sосн.цил-Sосн.кон=Sбок.цил+Sосн.цил+Sбок.кон
1) Найдем площадь боковой поверхности цилиндра
Sбок.цил=2πrh, где -радиус основания цилиндра, h - высота цилиндра
Sбок.цил=2π∙3∙6=36π см
2) Найдем площадь основания цилиндра
Sосн.цил=πr2=π∙32=9π см
2) Найдем площадь боковой поверхности конуса
Sпов.кон=πrl, где -длина образующей конуса, l=BC
Длина образующей нам неизвестна, найдем ее из ∆BOC по теореме Пифагора:
OB2+OC2=BC2
32+CD-AB2=BC2
9+42=BC2
25=BC2⇒BC=5 см
Sпов.кон=π∙3∙5=15π см
3) Тогда общая площадь поверхности:
Sпов.общ=Sбок.цил+Sосн.цил+Sбок.кон=36π+9π+15π=60π
Ответ: Sпов.общ=60π