Данный ряд исследовать на сходимость, применяя достаточные признаки сходимости. n=1∞n!5n.

N=1∞n!5n=n=1∞n-1!5=15+15+25+65+245+…+n-1!5+….
Каждый член данного ряда положительный, значит ряд положительный. Для исследования на сходимость данного ряда используем признак Даламбера.
Находим:
un=n-1!5, un+1=n!5,
limn→∞un+1un=limn→∞n!5n-1!5=limn→∞n!n-1!=limn→∞n=∞.
Таким образом, начиная с некоторого номера n=N, имеет место неравенство
un+1>un.
Поэтому ряд расходится.
Используем признак Коши