Данные о численности населения Свердловской области за 2009–2017 гг., тыс. чел.:
2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017
4394 4297 4307 4316 4321 4327 4330 4329 4331
На основе имеющейся статистической базы следует:
1. Составить прогноз численности населения Свердловской области на 2018, 2019 годы, используя методы: скользящей средней, экспоненциального сглаживания, наименьших квадратов.
2. Построить график фактического и расчетных показателей.
3. Рассчитать среднюю относительную ошибку полученных прогнозов для каждого метода.
4. Сравнить полученные прогнозы и сформулировать выводы.
Ответ
сравнивая полученные результаты, можем сделать вывод о том, что метод скользящей средней позволил получить наиболее достоверные результаты, так как средняя относительная ошибка наименьшая. Также достоинством данного метода является простота расчетов.
Решение
Составим прогноз численности населения Свердловской области на 2018, 2019 годы методом скользящей средней. Формула расчёта методом скользящей средней (МСС):
= + , (1)
где t + 1 – прогнозный период;
t – период, предшествующий прогнозному периоду;
yt+1 – прогнозируемый показатель;
– скользящая средняя за два периода, предшествующих прогнозному;
n – число уровней, входящих в интервал сглаживания;
yt – фактическое значение исследуемого явления за предшествующий период;
yt-1 – фактическое значение исследуемого явления за два периода, предшествующих прогнозному.
Определим величину интервала сглаживания равную 3 (n = 3). Рассчитываем скользящую среднюю m для первых трех периодов:
m2010 = (У2009 + У2010 + У2011)/ 3 = (4 394+4 297+4 307)/3 = 4 332,67;
m2011 = (У20010 + У2011 + У2012)/ 3 = (4 297+4 307+4 316)/3 = 4 306,67;
m2012 = (У2011 + У2012 + У2013)/ 3 = (4 307+4 316+4 321)/3 = 4 314,67;
m2013 = (У2012 + У2013 + У2014)/ 3 = (4 316+4 321+4 327)/3 = 4 321,33;
m2014 = (У2013 + У2014 + У2015)/ 3 = (4 321+4 327+4 330)/3 = 4 326,00;
m2015 = (У2014 + У2015 + У2016)/ 3 = (4 327+4 330+4 329)/3 =4 328,67;
m2016 = (У2015 + У2016 + У2017)/ 3 = (4 330+4 329+4 331)/3 = 4 330,00.
Все полученные значения заносим в таблицу в средину интервала сглаживания периодов, для чего составим таблицу 1:
Таблица 1 – Прогноз численности населения Свердловской области на 2018, 2019 годы методом скользящей средней
Период (n) Численность населения свердловской области (Y), тыс. чел. Скользящая средняя m
Расчет среднего относительного отклонения /Уф – Ур/ /Уф * 100
1 2 3 4
2009 4 394 - -
2010 4 297 4 332,67 0,83
2011 4 307 4 306,67 0,01
2012 4 316 4 314,67 0,03
2013 4 321 4 321,33 0,01
2014 4 327 4 326,00 0,02
2015 4 330 4 328,67 0,03
2016 4 329 4 330,00 0,02
2017 4 331 - -
Итого
0,95
2018 (прогноз) 4330,67
2019(прогноз) 4330,11
Рассчитав скользящую среднюю для периодов построим прогноз на 2018 по формуле (1):
У2018 = 4 330 + 1/3*(4 331-4 329) = 4 330,67 тыс. чел.
Теперь можем рассчитать скользящую среднюю m для 2017 г. (т.к. её значение требуется для построения прогноза на 2019 г.):
m2017 = (4 329+4 331+4330,67)/3 = 4 330,22
Строим прогноз на 2019 г.:
У2018 = 4330,22 + 1/3*(4330,67-4331) = 4330,11 тыс. чел.
Заносим полученные результаты прогнозных значений в таблицу 1. Рассчитываем относительное отклонение для каждого периода (соответственно, кроме 2009 и 2017). На основе полученных отклонений рассчитываем среднюю относительную ошибку:
ε = 0,95/7 = 0,14 %.
Построим график фактических и расчетных значений (рисунок 1).
Рисунок 1 – Фактические и расчетные значения численности населения Свердловской области в 2009-2019 гг
. полученные МСС, тыс. чел.
Как можно видеть из рисунка 1, расчетные значения в 2011-2017 близки к фактическим, что говорит о высокой точности аппроксимации (прогнозная модель хорошо описывает процесс).
2. Далее построим прогноз численности населения Свердловской области на 2018, 2019 годы методом экспоненциального сглаживания (МЭС).
Основная формула расчёта прогноза методом экспоненциального сглаживания (МЭС):
(2)
гдеt – период, предшествующий прогнозному;
t+1– прогнозный период;
прогнозируемый показатель;
параметр сглаживания;
фактическое значение исследуемого показателя за период, предшествующий прогнозному;
экспоненциально взвешенная средняя для периода, предшествующего прогнозному.
Определим значение параметра сглаживания () по формуле:
, (3)
гдеn – число наблюдений, входящих в интервал сглаживания.
α = 2/ (n+1) = 2/(9+1) = 0,2
Определяем начальное значение Uo можно двумя способами:
1 способ (среднее арифметическое базовых показателей):
Uo = 38 925/9 = 4328 тыс. чел.
2 способ (приравниваем начальное значение экспоненциально взвешенной Uo к первому значению базы прогноза) Uo = 4 394.
После получения значений параметра сглаживания и первоначального значения экспоненциально взвешенной рассчитываем Ut для всех остальных периодов, используя основную рабочую формулу 2 (см. выше).
1 способ:
U2010 = 0,2*4394+(1-0,2)*4328 = 4341,20;
U2011 = 0,2*4297+(1-0,2)*4341,2 = 4332,36;
U2012 = 0,2*4307+(1-0,2)*4332,36 = 4327,29;
U2013 = 0,2*4316+(1-0,2)*4327,29 = 4325,03;
U2014 = 0,2*4321+(1-0,2)*4325,03 = 4324,22;
U2015 = 0,2*4327+(1-0,2)*4324,22 = 4324,78;
U2016 = 0,2*4330+(1-0,2)*4324,78 = 4325,82;
U2017 = 0,2*4329+(1-0,2)*4325,82 = 4326,46;
U2018 (прогноз) = 0,2*4331+(1-0,2)*4326,46 = 4327,37.
1 способ:
U2010 = 0,2*4394+(1-0,2)*4394 = 4394;
U2011 = 0,2*4297+(1-0,2)*4394 = 4374,6;
U2012 = 0,2*4307+(1-0,2)*4374,6 = 4361,08;
U2013 = 0,2*4316+(1-0,2)*4361,08 = 4352,06;
U2014 = 0,2*4321+(1-0,2)*4352,06 = 4345,85;
U2015 = 0,2*4327+(1-0,2)*4345,85 = 4342,08;
U2016 = 0,2*4330+(1-0,2)*4342,08 = 4339,66;
U2017 = 0,2*4329+(1-0,2)*4339,66 = 4337,53;
U2018 (прогноз) = 0,2*4331+(1-0,2)*4337,53 = 4336,23.
Далее, рассчитываем относительное отклонение, соответственно, для каждого периода по каждому способу (5 и 6 колонки таблицы 2). Формула для расчёта относительного отклонения приведена в таблице 1 (колонка 4).
Рассчитываем среднюю относительную ошибку для двух способов:
1 способ:
ε = 3,84/9 = 0,43 %
2 способ:
ε = 6,61/9 = 0,73 %
Обобщим результаты в таблице 2.
Таблица 2 – Прогноз численности населения Свердловской области на 2018, 2019 годы методом экспоненциального сглаживания
Период Численность населения свердловской области (Y), тыс
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
