Дана плотность распределения системы X Y

(9Т11) константу C
Из условия нормировки
Dρx,ydxdy=DCdxdy=1
где D – область, ограниченная сторонами треугольника OAB, следовательно
04014xCdxdy=C04dx014xdy=C0414xdx=C4∙x2204=C4∙162=2C=1
отсюда C=12.
Плотность распределения системы X,Y имеет вид
ρx,y=12 в треугольнике O0,0, А4,0, В4,1,0 в остальных точках
ρ1x, ρ2y
Найдем плотность распределения X. Используем формулу ρ1x=-∞+∞ρx,ydy
Если x<0, то ρx,y=0, следовательно ρ1x=0.
Если 0≤x≤4, тогда
ρ1x=014x12dy=12y014x=12∙14x=18x
Если x>4, то ρx,y=0, следовательно ρ1x=0.
Плотность распределения X имеет вид
ρ1x=0, если x<018x, если 0≤x≤40, если x>4
Найдем плотность распределения Y . Используем формулу ρ2y=-∞+∞ρx,ydx
Если y<0, то ρx,y=0, следовательно ρ2y=0.
Если 0≤y≤1, тогда
ρ2y=4y412dx=12x4y4=12∙4-4y=2-2y
Если y>0, то ρx,y=0, следовательно ρ2y=0.
Плотность распределения Y имеет вид
ρ2y=0, если y<02-2y, если 0≤y≤10, если y>0
(П51) mx
Математическое ожидание
mx=-∞+∞xρ1xdx=-∞0x∙0dx+04x∙18xdx+4∞x∙0dx=1804x2dx=18∙x3304=18∙643=83≈2,6667
(727) my
Математическое ожидание
my=-∞+∞yρ2ydy=-∞0y∙0dy+01y∙2-2ydy+1∞y∙0dy=201y-y2dx=2∙y22-y3301=2∙12-13=2∙16=13≈0,3333
(3P1) Dx
Дисперсия
Dx=MX2-mx2=-∞∞x2ρ1xdx-mx2=-∞0x2∙0dx+04x2∙18xdx+4∞x2∙0dx-832=1804x3dx-832=18∙x4404-649=18∙64-649=8-649=89≈0,8889
(П96) Dy
Дисперсия
Dy=MY2-my2=-∞+∞y2ρ2ydy-my2=-∞0y2∙0dy+01y2∙2-2ydy+1∞y2∙0dy-132=201y2-y3dx-132=2∙y33-y4401-19=2∙13-14-19=16-19=118≈0,0556
(371) cov X,Y
Ковариация
cov X,Y=MX∙Y-mx∙my=-∞+∞-∞+∞xyρx,ydxdy-mx∙my=04014x12xydxdy-83∙13=1204xdx014xydy-89=1204xy22014xdx-89=1204x332dx-89=164∙x4404-89=164∙64-89=1-89=19≈0,1111
(4T12) rxy
405574526733500Коэффициент корреляции
rxy=cov X, YDx∙Dy=1989∙118=19481=19∙92=12=0,5
(151) F2;10
F2;10=PX<2, Y<10=D12dxdy
где D – треугольник ODC