Дана плотность распределения непрерывной случайной величины f(x)

Найдем параметр а из условия нормировки:
-∞∞fxdx=1
Получим:
-∞∞fxdx=02a(4x-x3)dx=a02(4x-x3)dx=a2x2-x4402=
=a2×22-244-2×02+044=4a
4a=1
a=14
Тогда плотность распределения буде иметь вид:
fx=0, при x∉(0;2]x-x34, при x∈(0;2] или fx=0, при x≤0 x-x34, при 0<x≤20, при x>2
найдем функцию распределения Fx по определению:
Fx=-∞xftdt
Пусть x≤0, тогда fx=0
Fx=-∞xftdt=-∞x0dt=0
Пусть 0<x≤2, тогда fx=x-x34
Fx=-∞xftdt=-∞00dt+0xt-t34dt=0xtdt-140xt3dt=
=t220x-t4160x=x22-022-x416+0416=x22-x416
Пусть x>2, тогда fx=0
Fx=-∞xftdt=-∞00dt+02t-t34dt+2x0dt=t2202-t41602=
=222-022-2416+0216=2-0-1+0=1
Таким образом функция распределения будетиметь следующий вид:
Fx=0, при x≤0 x22-x416, при 0<x≤21, при x>2
Основные формулы:
Математическое ожидание случайной величины X
MX=-∞∞fxxdx
MX=02x-x34xdx=02x2-x44dx=x3302-x52002=
=233-033-2520+0520=83-0-3220+0=160-9660=6460=1615
Дисперсию случайной величины X.
DX=-∞∞fxx2dx-(MX)2
DX=02x-x34x2dx-16152=02x3-x54dx-256225=
=x4402-x62402-256225=244-044-2624+0624-256225=4-0-83+0-256225=
=900-600-256225=44225
Среднее квадратичное отклонение случайной величины X.
σ=DX=44225=21115
Вероятность попадания случайной величины в интервал (–2; 1) будет равна:
P-2≤x≤1=F1-F-2=122-1416--222+-2416=
=12-116-2+1=-916 ((проверить,вероятность не может быть < 0.)