Дана многомерная система автоматического управления своими матрицами A

А) Запишем уравнения системы в координатной форме:
Найдем корни характеристического уравнения :
или
Тогда корни характеристического уравнения: , .
Так как характеристическое уравнение имеет только отрицательные корни, кроме того, порядок (m = 0) правой части уравнения меньше порядка (n = 2) левой части. Согласно первому и третьему критериям система устойчива.
Собственные значения матрицы различны, при этом ранг матрицы A равен 2, тогда найдем переходную систему:
Найдем законы изменения векторов состояния и выхода.
Найдем вектор свободного движения:
Найдем вектор вынужденного движения:
Получаем закон изменения состояния:
Аналогично найдем состояние вектор выхода:
Найдем матричные произведения:
Составляем матрицы управляемости и наблюдаемости и приведем их к треугольному виду:
, ,
Определяем ранги матриц: , , .
Согласно критериям управляемости и наблюдаемости система не является вполне управляемой по состоянию и по выходу, но вполне наблюдаема.
б) Запишем уравнения системы в координатной форме:
Найдем корни характеристического уравнения :
или
Тогда корни характеристического уравнения: .
Так как характеристическое уравнение имеет только отрицательные корни, кроме того, порядок (m = 0) правой части уравнения меньше порядка (n = 2) левой части. Согласно первому и третьему критериям система устойчива.
Выражения общего решения для каждой компоненты имеют вид:
Найдем производные:
Вычтем из второго уравнения первое:
Подставляем полученные выражения:
Коэффициенты найдем из системы:
Откуда , .
Получаем вектор:
Отсюда находится фундаментальная матрица:
Найдем обратную матрицу:
Тогда:
Найдем вектор свободного движения:
Найдем вектор вынужденного движения:
Получаем закон изменения состояния:
Аналогично найдем состояние вектор выхода:
Найдем матричные произведения:
Составляем матрицы управляемости и наблюдаемости и приведем их к треугольному виду:
,
,
Определяем ранги матриц: , ,