Дана консольная балка, на которую действуют: равномерно распределенная нагрузка q = 6 кН/м, сосредоточенная сила F = 12 кН и момент М = 20 кН⋅м. Длины участков зависят от параметра l = 3 м.
Требуется:
Построить эпюры внутренних изгибающих моментов и поперечных сил. Определить Mmax и Qmax и подобрать сечение двутавровой балки для схемы, если [σ] = 160 МПа. Построить эпюры распределения нормальных и касательных напряжений по сечению балки.
Решение
Составим уравнения равновесия и определим реакции опор:
MA=0;-q⋅l322-M-q⋅2l3⋅2l3+l3+RB⋅l-F·4l3=0;
RB=q⋅l322+M+q⋅2l3⋅2l3+l3+F·4l3l=6⋅122+20+6⋅2⋅33⋅2⋅33+33+12·4⋅333=35,67 кН.
MB=0;-RA·l+q⋅l3⋅2l3+l6-M-F·l3-q⋅l322+q⋅l322=0;
-RA·l+q⋅l3⋅2l3+l6-M-F·l3=0;
RA=q⋅l3⋅2l3+l6-M-F·l3l=6⋅33⋅2⋅33+36-20-12·333=-5,67 кН.
Fx=0;RA-q·l3-F+RB-q·2l3=0;-5,67-6⋅33-12+35,67-6⋅2⋅33=0
Для построения эпюр M и Q балку необходимо разбить на грузовые участки. Балка, представленная на рабочей схеме, имеет четыре выраженных участка. Используя метод сечений отсчет координат производим от начала каждого участка.
Находим поперечные силы и изгибающие моменты.
1-й участок 0≤x1≤l3
Qx1=RA-qx1;
Qx1=0=RA=-5,67 кН;Qx1=l3=RA-q⋅l3=-5,67-6⋅33=-11,67 кН;
Mx1=RAx1-qx122; Mx1=0=0 ;Mx1=l3=RAl3-ql322=-5,67⋅1-6⋅122 =-8,67 кН⋅м
2-й участок 0≤x2≤l3
Qx2=RA-q⋅l3=-5,67-6⋅33=-11,67 кН;
Mx2=RAl3+x2-q⋅l3⋅l6+x2;
Mx2=0=RA⋅l3-q⋅l3⋅l6=-5,67⋅1-6⋅122 =-8,67 кН⋅м;
Mx2=3 м=RAl3+l3-q⋅l3⋅l6+l3=-5,67⋅2-6⋅33⋅36+33=-20,33 кН⋅м;
3-й участок 0≤x3≤l3
Qx3=RA-q⋅l3-qx3
Qx3=0=RA-q⋅l3=-5,67-6⋅33=-11,67 кН;
Qx3=l3=RA-q⋅l3-q⋅l3=-5,67-6⋅33-6⋅33=-17,67 кН;
Mx3=RA2l3+x3-q⋅l3⋅l6+l3+x3-qx322+M;
Mx3=0=RA⋅2l3-q⋅l3⋅l6+l3-ql322+M=-5,67⋅2-6⋅1⋅12+1-6⋅3322+20=-0,33 кН⋅м;
Mx3=3 м=RA2l3+l3-q⋅l3⋅l6+l3+l3-ql322+M=-5,672⋅33+33-6⋅33⋅36+33+33-63322+20=-15 кН⋅м
4-й участок 0≤x4≤l3
Qx4=F+q·x4;
Qx4=0=0;
Qx4=3 м=F+q·l3=6⋅1=6 кН;
Mx4=-Fx4-q·x422;
Mx4=0=0
Mx4=3 м=-Fl3-q·l322=-12⋅33-6·3322=-15 кН⋅м
Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
Опасным сечением для балки является сечение в точке приложения момента M, где Mx max=-20,33 кН⋅м, Qy max=11,57 кН.
Составляем условие прочности для балки c двутавровым поперечным сечением:
σmax=Mx maxWx≤σ=160 МПа
[Wx]=Mx maxσmax=20,33⋅103160⋅106=127 см3
Для расчетного значения [Wx] выбираем из таблицы сортамента двутавр № 18 Wx=143 см3 и A=23,4 см2
Тогда
σдейств=MmaxWx=20,33⋅103143⋅10-6=142,17 МПа
При этом недогруз составит:
П=σдейств-σσ·100%=142,17-160160·100%=-11,14%
Так как недогруз может быть не больше 15%, то принимаем двутавр № 18.
Построение эпюр распределения напряжений для двутаврового сечения.
Геометрические характеристики двутавра № 18 h=180 мм, b=90 мм, d=5,1 мм, t=8,1 мм,Wx=143 см3,Jx=1290 см4,Sx'=81,4 см3
По формуле Журавского имеем:
τu=Q(max)∙Sxотсb*∙Jx
где Sxотс - статический момент отсеченной части площади расположенной выше рассматриваемой точки.
Sxотс=t·bh12-y2
для точки «1» сечения (b*=b=90 мм):
Sxотс=0; τu(1)=0.
для точки «2» сечения b*=b=90 мм и b*=t=8,1 мм:
Sxотс=t·bh12-t2 =8,1·90⋅1802-8,12≃62658 мм362,66 см3;
τu2=11,57·103· 62,66⋅10-6 90·10-3·1290 ·10-8≃0,62 МПа,τu(2)*=11,57·103· 62,66⋅10-6 8,1·10-3·1290 ·10-8≃6,94 МПа
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
