Дана электрическая цепь изображенная на рис

– Схема цепи для расчета методом узловых потенциалов
Метод узловых потенциалов – один из методов анализа электрической цепи, который целесообразно использовать, когда количество узлов в цепи меньше или равно числу независимых контуров.
Данный метод основан на составлении уравнений по первому закону Кирхгофа. При этом, потенциал одного из узлов цепи принимается равным нулю, что позволяет сократить число уравнений до nузлов-1.
Ток в любой ветви схемы можно найти по обобщенному закону Ома.
Для того чтобы можно было применить закон Ома, необходимо знать значение потенциалов узлов схемы.
Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов. Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по первому закону Кирхгофа.
Произвольно выбираем направления токов в ветвях.
Ветвь – это участок электрической цепи от одного узла до другого узла. Ветвь обычно содержит один или несколько последовательно соединенных элементов цепи: сопротивления, источники ЭДС или источники тока.
В заданной цепи пять ветвей nветвей=5 и пять неизвестных токов:
E1,R1;E2,R2;E3,R3;R4;R5
I1;I2;I3;I4;I5
Узел – это участок электрической цепи, содержащий соединения трех или более числа ветвей . В узловой точке происходит разветвление токов.
В заданной цепи три независимых узла nузлов=3:
узел 1;узел 2;узел 3
Примем узел 3 за базовый и будем считать его потенциал равным нулю:
φ3=0
Для остальных узлов составляют систему уравнений вида:
φ1*G11+φ2*G12=J11φ1*G21+φ2*G22=J22
G11;G22 – сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле (собственная проводимость узла), всегда берутся со знаком «плюс»;
G12=G21 – сумма проводимостей ветвей, соединяющих два узла (общая проводимость узлов), всегда берутся со знаком «минус»;
J11;J22 – узловые токи узлов, находятся как алгебраическая сумма токов короткого замыкания всех ветвей, сходящихся в узле (те токи, источники которых направлены к узлу берутся со знаком «плюс», в противном случае со знаком «минус»).
Выпишем и подсчитаем значения коэффициентов системы:
собственная проводимость узлов:
G11=1R1+1R3+1R4, См
G11=130+130+130=1+1+130=330=0,1
G11=0,1 См
G22=1R1+1R2+1R5, См
G22=130+130+120=2+2+360=760=0,117
G22=0,117 См
общие проводимости узлов:
G12=G21=-1R1, См
G12=G21=-130=-0,0333
G12=G21=-0,0333 См
узловые токи:
J11=-E1R1+E3R3, А
J11=-1830+2030=230=0,0667
J11=0,0667 А
J22=E1R1+E2R2, А
J22=1830+1830=3630=1,2
J22=1,2 А
Узловые уравнения удобно записывать в матричной форме.
G11G12G21G22*φ1φ2=J11J21
0,1-0,0333-0,03330,117*φ1φ2=0,06671,2
Матрицу потенциалов узлов в системе найдем с помощью метода обратной матрицы в программе «Mathcad 15.0» Процедура решения с комментариями приведена в скриншоте с программы:
φi=Gi-1∙ Ji, В
φ1φ2φ3=4,52611,5790 В
Определяем токи ветвей через потенциалы узлов, применяя обобщенный закон Ома:
I1I2I3I4I5=Ii=φ1+E1-φ2R1φ3+E2-φ2R2φ3+E3-φ1R3φ1-φ3R4φ2-φ3R5=0,3650,2140,5160,1510,579,А
Для проверки правильности решения составляем баланс мощностей.
Сумма мощностей, потребляемых приемниками, равна сумме мощностей, отдаваемых источниками:
Pист=Pпотр
k±Ek*Ik=kI2k*Rk
В левую часть уравнения со знаком «плюс» войдут мощности источников, отдающих энергию, а со знаком «минус» – мощности источников, работающих в режиме потребителей.
Источники ЭДС E1;E2;E3, вырабатывают энергию, так как направления ЭДС и тока в ветвях с источниками совпадают и их записываем со знаком плюс