Дана плотность распределения вероятностей случайной величины X

Константу A найдем, исходя из условия:
-∞∞ρxdx=1
-∞∞ρxdx=-π2π2Acosxdx=Asinxπ2-π2=Asinπ2- Asin-π2=2A
2A=1 => A=12
ρx=12cosx, x≤π20 , x>π2
Функцию распределения найдем по формуле:
Fx=-∞xρtdt
x≤-π2
Fx=-∞x0dt=0
-π2<x≤π2
Fx=-∞-π20dt+12-π2xcostdt=12sintx-π2=12sinx+12
x>π2
Fx=-∞-π20dt+12-π2π2costdt+π2x0dt=12-π2π2costdt=12sinxπ2-π2=12+12=1
Fx=0, x≤-π212sinx+12, -π2<x≤π21, x>π2
Fπ6=12sinπ6+12=14+12=0,75
Математическое ожидание найдем по формуле:
mx=-∞∞xρxdx=12-π2π2xcosxdx=
Применим формулу интегрирования по частям:
u=x dv=cosxdx
du=dx v=sinx
=12xsinxπ2-π2-12-π2π2sinxdx=12xsinxπ2-π2+12cosxπ2-π2=π4-π4=0
Дисперсию найдем по формуле:
Dx=-∞∞x2ρxdx-(mx)2=12-π2π2x2cosxdx=
Применим формулу интегрирования по частям:
u=x2 dv=cosxdx
du=2xdx v=sinx
=12x2sinxπ2-π2--π2π2xsinxdx=π28+π28--π2π2xsinxdx=π24--π2π2xsinxdx=
Применим формулу интегрирования по частям еще раз:
u=x dv=sinxdx
du=dx v=-cosx
=π24+xcosxπ2-π2--π2π2cosxdx=π24-sinxπ2-π2=π24-1-1=π24-2≈0,46
Вероятность попадания в интервал непрерывно распределенной случайной величины найдем по формуле:
Pα≤X≤β=Fβ-Fα
P-π6<X<π6=Fπ6-F-π6=12sinπ6+12-12sin-π6+12=
=14+12+14-12=12=0,5
Ответ:
A=12; Fπ6=0,75; mx=0; Dx=0,46; P-π6<X<π6=0,5