Дана плотность распределения вероятностей системы

Построим треугольник и запишем уравнения сторон:
AO: y=0
OB: x=0
AB: x-xAxB-xA=y-yAyB-yA x+33=y2 3y=2x+6 y=23x+2 x=32y-3
Треугольник описывается неравенствами:
-3≤x≤00≤y≤23x+2
Неизвестную константу C найдем исходя из того, что:
D ρX,Ydxdy=1
D ρX,Ydxdy=C-30dx023x+2dy=C-3023x+2dx=C13x2+2x0-3=
=C-3+6=3C
3C=1 => C=13
ρX,Y=13,в треугольнике O0;0,A-3;0,B(0;2)0 в остальных точках
Найдем плотности распределений случайных величин X и Y:
ρ1x=-∞∞ρX,Ydy=13023x+2dy=29x+23 x∈-3;0
ρ2y=-∞∞ρX,Ydx=1332y-30dx=-12y+1 y∈[0;2]
Найдем математические ожидания и дисперсии компонентов:
mx=-∞∞xρ1xdx=-30x29x+23dx=-302x29+2x3dx=227x3+13x20-3=
=2-3=-1
Dx=-∞∞x2ρ1xdx-(mx)2=-30x229x+23dx-1=-302x39+2x23dx-1=
=118x4+29x30-3-1=-92+6-1=12
my=-∞∞yρ2ydy=02y-12y+1dy=02-12y2+ydy=-16y3+12y220=
=-43+2=23
Dy=-∞∞y2ρ2ydy-(my)2=02y2-12y+1dy-49=
=02(-12y3+y2)dy-49=-18y4+13y320-49=-2+83-49=29
cov X,Y=D x-mxy-myρX,Ydxdy=
=13-30x+1dx023x+2y-23dy=13-30x+112y2-23y23x+20dx=
=13-30x+11223x+22-2323x+2dx=
=13-30x+129x2+43x+2-49x-43dx=13-30x+129x2+89x+23dx=
=13-3029x3+109x2+149x+23dx=13118x4+1027x3+79x2+23x0-3=
=13-92+10-7+2=16
rxy=cov X,YDx∙Dy=1612∙29=12
F-1;1=-∞1dy-∞-1ρX,Ydx=1301dy32y-3-1dx=
=1301-1-32y+3dy=13012-32ydy=132y-34y210=512
ρXY=ρX,Yρ2y=13-12y+1=2-3y+6 =>
MXY=-∞∞ρXYxdx=2-3y+6∙32y-30xdx=1-3y+6x2032y-3=
=1232y-3∙32y-32=1232y-3=3y4-32
MXY=12=38-32=-98
Ответ:
C=13; ρ1x=29x+23 x∈-3;0; ρ2y=-12y+1 y∈0;2;
mx=-1; my=23; Dx=12; Dy=29; cov X,Y=16; rxy=12
F-1;1=512; MXY=12=-98