Дан закон распределения двумерной случайной величины

Запишем одномерные законы распределения случайных величин:
Найдем закон распределения случайной величины ξ
Pξ=-2=Pξ=-2η=-1+Pξ=-2η=0+Pξ=-2η=2=0,1+0,1=0,2
Pξ=-1=Pξ=-1η=-1+Pξ=-1η=0+Pξ=-1η=2=0,2+0,1=0,3
Pξ=0=Pξ=0η=-1+Pξ=0η=0+Pξ=0η=2=0,1+0,1=0,2
Pξ=1=Pξ=1η=-1+Pξ=1η=0+Pξ=1η=2=0,1+0,2=0,3
ξ
-2 -1 0 1
pi
0,2 0,3 0,2 0,3
Найдем закон распределения случайной величины η
Pη=-1=
=Pη=-1ξ=-2+Pη=-1ξ=-1+Pη=-1ξ=0+Pη=-1ξ=1=0,5
Pη=0=
=Pη=0ξ=-2+Pη=0ξ=-1+Pη=0ξ=0+Pη=0ξ=1=0,3
Pη=2=
=Pη=2ξ=-2+Pη=2ξ=-1+Pη=2ξ=0+Pη=2ξ=1=0,2
η
-1 0 2
pi
0,5 0,3 0,2
Найдем математические ожидания и дисперсии:
Mξ=i=14ξi∙pi=-2∙0,2+-1∙0,3+0∙0,2+1∙0,3=-0,4
Dξ=i=14ξi2∙pi-(Mξ)2=(-2)2∙0,2+-12∙0,3+02∙0,2+12∙0,3-(-0,4)2=
=0,8+0,3+0,3-0,16=1,24
Mη=i=13ηi∙pi=-1∙0,5+0∙0,3+2∙0,2=-0,1
Dη=i=13ηi2∙pi-(Mη)2=(-1)2∙0,5+02∙0,3+22∙0,2-(-0,1)2=1,3-0,01=1,29
Ковариацию и коэффициент корреляции найдем по формулам:
covξη=Mξη-Mξ∙Mη
ρξ,η=covξηDξ∙Dη
Mξη=i,j=13ξiηj∙pij=
=-2∙-1∙0,1+-1∙-1∙0,2+1∙-1∙0,1+-2∙2∙0,1=-0,1
covξη=-0,1--0,4∙-0,1=-0,14
ρξ,η=covξηDξ∙Dη=-0,141,24∙1,29≈-0,111
Рассмотрим событие A=ξ=-2 PA=0,2
Рассмотрим событие B=η=-1 PB=0,5
PAB=Pη=-1ξ=-2=0,1
Проверим выполнимость равенства:
PAB=PA∙PB
0,1=0,2∙0,5
Значит, события A=ξ=-2 и B=η=-1 являются независимыми
Составим условный закон распределения случайной величины γ=(ξ|η=0)
Заданному условию отвечают значения: η=0
Pη=0=0,3
γ
-2 -1 0 1
pi
00,3=0
0,10,3=13
00,3=0
0,20,3=23
Mγ=i=14γi∙pi=-2∙0+-1∙13+0∙0+1∙23=13≈0,333
Dγ=i=13γi2∙pi-(Mγ)2=(-2)2∙0+-12∙13+02∙0+12∙23-19=89≈0,889
Ответ:
Mξ=-0,4; Dξ=1,24;
Mη=-0,1 Dη=1,29;
covξη=-0,14; ρξ,η≈-0,111
события A=ξ=-2 и B=η=-1 являются независимыми
Mγ≈0,333; Dγ≈0,889