Дан закон распределения двумерной случайной величины

1) Случайная величина X принимает значения: 5,6,7,8. Выпишем закон распределения данной случайной величины (Таблица 1):
Таблица 1 – Закон распределения случайной величины X.
X 5 6 7 8
p 0,03 0,46 0,34 0,17
PX=5=0,01+0,01+0,01=0,03
PX=6=0,4+0,04+0,02=0,46
PX=7=0,02+0,3+0,02=0,34
PX=8=0,01+0,02+0,14=0,17
Случайная величина Y принимает значения: 1,2,3. Выпишем закон распределения случайной величины Y (Таблица 2):
Таблица 2 – Закон распределения случайной величины Y.
Y 1 2 3
p 0,44 0,37 0,19
PY=1=0,01+0,4+0,02+0,01=0,44
PY=2=0,01+0,04+0,3+0,02=0,37
PY=3=0,01+0,02+0,02+0,14=0,19
2) Вычислим числовые характеристики случайных величин X и Y:
MX=5*0,03+6*0,46+7*0,34+8*0,17=0,15+2,76+2,38+1,36=6,65
DX=52*0,03+62*0,46+72*0,34+82*0,17-6,652=0,75+16,56+16,66+10,88-44,2225=0,6275
MY=1*0,44+2*0,37+3*0,19=0,44+0,74+0,57=1,75
DY=12*0,44+22*0,37+32*0,19-1,752=0,44+1,48+1,71-3,0625=0,5675
3) Найдём ковариацию случайных величин по формуле:
covX,Y=MX*Y-MX*MY=1*5*0,01+2*5*0,01+3*5*0,01+1*6*0,4+2*6*0,04+3*6*0,02+1*7*0,02+2*7*0,3+3*7*0,02+1*8*0,01+2*8*0,02+3*8*0,14-6,65*1,75=0,422
Найдём коэффициент корреляции по формуле:
rXY=cov(X,Y)σX*σ(Y)=0,4220,6275*0,5675≈0,71
Так как ковариация случайных величин не равна нулю, случайные величины X и Y являются коррелированными.
4) Составим условный закон распределения случайной величины X при условии Y=2 (Таблица 3):
Таблица 3 – Условный закон распределения случайной величины X.
X|Y=2
5 6 7 8
p 0,03 0,11 0,81 0,05
PX=5Y=2=0,010,37=0,03
PX=6Y=2=0,040,37=0,11
PX=7Y=2=0,30,37=0,81
PX=8Y=2=0,020,37=0,05
Составим условный закон распределения случайной величины Y при условии X=7 (Таблица 4):
Таблица 4 – Условный закон распределения случайной величины Y.
Y|X=7
1 2 3
p 0,06 0,88 0,06
PY=1X=7=0,020,34=0,06
PY=2X=7=0,30,34=0,88
PY=3X=7=0,020,34=0,06
Случайные величины зависимы, так как, например:
PX=5,Y=1=0,01≠PX=5*P(Y=1)