Дан треугольник ABC Сделать рисунок Найти

A-3;1; B2;-4; C-1;-3
a) Уравнение сторон.
Чтобы задать уравнение прямой или стороны достаточно иметь две точки, принадлежащие прямой.
AB: x--32--3=y-1-4-1; x+35=y-1-5; x+y+2=0
AC: x--3-1--3=y-1-3-1; x+32=y-1-4; 2x+y+5=0
BC: x-2-1-2=y--4-3--4; x-2-3=y+41; x+3y+10=0
b) Уравнение высот.
Пусть A2, B2, C2 – точки, лежащие на сторонах треугольника, на которые опущены высоты из вершин A, B, C соответственно.
Составим уравнение высот:
AA2: x-xAyC-yB=y-yAxB-xC; x--3-3--4=y-12--1; x+31=y-13;3x-y+10=0
BB2:x-xByC-yA=y-yBxA-xC; x-2-3-1=y--4-3--1; x-2-4=y+4-2;x-2y-10=0
CC2 :x-xCyB-yA=y-yCxA-xB; x--1-4-1=y--3-3-2; x+1-5=y+3-5;x-y-2=0
c) Уравнение медиан.
Найдем основания медиан (точки пересечения медиан со сторонами).
Пусть A1, B1, C1 – точки пересечения медиан, проведённых из вершин A-3;1, B2;-4, C-1;-3 соответственно, со сторонами AB, AC, BC соответственно . Тогда
A12+-12;-4+-32=A112;-72=A10,5;-3,5
B1-3+-12;1+-32=B1-42;-22=B1-2;-1
C1-3+22;1+-42=C1-12;-32=C1-0,5;-1,5
Составим уравнение медиан по двум точкам:
AA1: x--30,5--3=y-1-3,5-1; x+33,5=y-1-4,5; 9x+7y+20=0
BB1: x-2-2-2=y--4-1--4; x-2-4=y+43; 3x+4y+10=0
CC1: x--1-0,5--1=y--3-1,5--3; x+10,5=y+31,5; 3x-y=0
d) Длины сторон
Вычислим длину стороны AB.
AB=2--32+-4-12=52+-52=25+25=50=52
Вычислим длину стороны AB.
AC=-1--32+-3-12=22+-42=4+16=20=25
Вычислим длину стороны AB.
BC=-1-22+-3--42=-32+12=9+1=10
e) Длины высот
Вычислим площадь
S=12∙2--3-3-1--1--3-4-1=12∙-20+10=5
Вычислим длины высот по известной формуле, имеем:
AA2=2SBC=2∙510=10≈3,162
BB2=2SAC=2∙525=5≈2,236
CC1=2SBA=2∙552=2≈1,414
f) Длины медиан.
AA1=0,5--32+-3,5-12=3,52+-4,52=32,5≈5,701
BB1=-2-22+-1--42=-42+32=16+9=25=5
CC1=-0,5--12+-1,5--32=0,52+1,52=2,5≈1,581
g) Углы треугольника
Вычислим внутренние углы по теореме косинусов:
cosA=AB2+AC2-BC22∙AB∙AC=50+20-102∙52∙25=602010=31010
A=arccos31010≈18,435°
cosB=AB2+BC2-AC22∙AB∙BC=50+10-102∙52∙10=40205=255
B=arccos255≈26,565°
cosC=AC2+BC2-AB22∙AC∙BC=20+10-502∙25∙10=-20202=-22
C=arccos-22≈135°
h) Площадь треугольника (через векторное произведение).
S=12∙AB, AC
Вычислим площадь
S=12∙2--3-3-1--1--3-4-1=12∙-20+10=5