Дан плоский двухслойный конденсатор
.pdf
Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥
Дан плоский двухслойный конденсатор (рис. 1.1), состоящий из двух одинаковых электропроводных пластин, каждая из которых имеет площадь S. Между пластинами находятся два слоя диэлектрика с толщинами d1 и d2 и с диэлектрическими проницаемостями ε1 и ε2 . Пластины конденсатора подключены к постоянному напряжению U. Используя исходные данные, требуется:
получить (вывести, доказать, обосновать) каждое из приведенных ниже соотношений;
рассчитать и построить распределения напряженности электрического поля E, электрического смещения (индукции) D и потенциала φ в зависимости от координаты x (расчеты выполнить для точек x = 0, d1/2, d1, d1 + d2/2, d1 + d2), при этом на осях указать размеры соответствующих величин;
рассчитать емкость конденсатора C.
Дано:
S=39 см2=39∙10-4 м2;
d1=1.0 мм=0.001 м;
d2=0.9 мм=0.0009 м;
U=0.6 кВ=600 В;
ε1ε0=11;
ε2ε0=2;
Нужно полное решение этой работы?
Решение
Плоскому конденсатору характерна плоская электромагнитная волна, которая распространяется в диэлектрике. Электромагнитная волна называется плоской, когда векторы E и H зависят только от одной координаты, например от x.
Уравнение Пуассона и Лапласа:
2 = - или 0.
Скалярный лапласиан в декартовой системе расписывается следующим образом:
2 =++.
Но в данной задаче потенциал зависит только от одной координаты х, то есть == 0.
Согласно уравнению Лапласа вектор напряженности E электрического поля в пределах каждого слоя диэлектрика является постоянным и имеет лишь одну составляющую Ex по оси x.
(1.1)
Для определения E1 и E2 можно составить систему из двух уравнений.
Граничные условия для нормальных составляющих векторов D и E следуют из теоремы Гаусса. Выделим вблизи границы раздела замкнутую поверхность в виде цилиндра, образующая которого перпендикулярна к границе раздела, а основания находятся на равном расстоянии от границы (рис. 1.2):
Рис. 1.2
Так как на границе раздела диэлектриков нет свободных зарядов, то, в соответствии с теоремой Гаусса, поток вектора электрической индукции через данную поверхность, будет равен:
Выделяя потоки через основания и боковую поверхность цилиндра, получаем:
где - значениекасательной составляющей усредненное по боковой поверхности
. Переходя к пределу при h->0 (при этом стремится к нулю), получаем ()=0, или окончательно для нормальных составляющих вектора электрической индукции:
Для нормальных составляющих вектора напряженности поля получим:
Таким образом, при переходе через границу раздела диэлектрических сред нормальная составляющая вектора терпит разрыв, а нормальная составляющая вектора непрерывна.
Первое уравнение соответствует граничному условию для вектора D на границе раздела двух диэлектрических слоев. Поскольку согласно (1.1):
(1.2)
То указанное граничное условие имеет вид:
(1.3)
где ε1 и ε2 с учетом значения электрической постоянной равны:
ε1= ε0∙11=11∙8.86∙10-12Фм=97.46 ∙10-12Фм
ε2= ε0∙2=2∙8.86∙10-12Фм=17.72 ∙10-12Фм
Конденсатор – это система двух проводников, на которых находятся равные по величине, но противоположные по знаку заряды. Емкость конденсатора по определению равна отношению заряда к разности потенциалов:
Второе уравнение связывает приложенное к конденсатору напряжение (рис
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
