Дан дифференциальный закон распределения непрерывной случайной величины X

1) Определим коэффициент А из условию нормировки:
-∞+∞fxdx=1
0π4acosxdx=asinx0π4=asinπ4-asin0=a2
a2=1
a=2
fx=0, x<02cosx, 0≤x≤π40, x>π4
2) Найдем функцию распределения F(x) по определению Fx=-∞xftdt. Получаем:
Пусть x<0, тогда fx=0, тогда Fx=-∞xftdt=-∞x0dt=0
Пусть 0<x<π4, тогда fx=2cosx, тогда
Fx=-∞xftdt=-∞00dt+0x2costdt=2sint0x=2sinx-2sin0=2sinx
Пусть x>π4, тогда fx=0, тогда
Fx=-∞xftdt=-∞00dt+0π42costdt+π4x0dt=2sint0π4=2sinπ4-2sin0=1
Таким образом
Fx=0, x<02sinx, 0≤x≤π41, x>π4
3) Схематично построим графики F(x) и f(x)
4) Найдем математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение:
MX=-∞+∞xfxdx=20π4xcosxdx=uv-vdu=u=2xdu=2dxdv=cosxdxv=sinx=2x*sinx0π4-20π4sinxdx=2x*sinx+2cosx0π4=2*π4*sinπ4+2cosπ4-2*0*sin0+2cos0=1-2+π4
DX=-∞+∞x2fxdx-MX2=20π4x2cosxdx-1-2+π42=uv-vdu=u=2x2du=22xdxdv=cosxdxv=sinx=2x2*sinx0π4-0π422xsinxdx-1-2+π42=uv-vdu=u=22xdu=22dxdv=sinxdxv=-cosx=2x2*sinx0π4+22xcosx0π4-0π422cosxdx-1-2+π42=2x2*sinx+22xcosx-22sinx0π4-1-2+π42=2*π42*sinπ4+22*π4*cosπ4-22sinπ4-2*02*sin0+22*0*cos0-22sin0-1-2+π42=π2+22-5
σX=π2+22-5≈0.2233