Дан дифференциальный закон распределения непрерывной случайной величины X

Определим коэффициент a из условию нормировки:
-∞+∞fxdx=1
-∞+∞2a1+x2dx=-∞02a1+x2dx+0+∞2a1+x2dx=limc→-∞2a arctgxc0+limb→+∞2a arctgx0b=limc→-∞2a arctg0-2a arctgc+limb→+∞2a arctgb-2a arctg0=2πa
2πa=1
a=12π
fx=2*12π1+x2 при-∞<x<+∞
fx=1π1+x2 при-∞<x<+∞
fx=1π1+x2 при-∞<x<+∞
Найдем функцию распределения F(x) по определению Fx=-∞xftdt . Получаем:
Пусть -∞<x<+∞, тогда fx=1π1+x2, тогда
Fx=-∞xftdt=-∞x1π1+t2dt=limc→-∞arctgtπcx=limc→-∞arctgxπ-arctgcπ=arctgxπ+12
Таким образом
Fx=arctgxπ+12 при-∞<x<+∞
3) Схематично построим графики F(x) и f(x)
Найдем математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение:
MX=-∞+∞xfxdx=1π-∞+∞x1+x2dx=1π-∞0x1+x2dx+1π0+∞x1+x2dx=lima→-∞12πln1+x2a0+limb→+∞12πln1+x20b=lima→-∞12πln1+02-12πln1+a2+limb→+∞12πln1+b2-12πln1+02=∞
DX=-∞+∞x2fxdx-MX2=∞
σX=∞