Цилиндрический сосуд высоты h=0 500 м и радиуса R=10

А) по формуле Торричелли скорость, с которой вытекает вода из отверстия равна
v=2gx,
где х высота уровня воды над дном сосуда.
За время dt через отверстие пройдет объем воды
dV=πr2vdt=πr22gxdt
За то же время уровень воды в сосуде понизится на
-dx=dVπR2
-dx=πr22gxdtπR2
-dx=r22gxdtR2
dt=-R2r22gxdx
Проинтегрируем обе части
0τdt=-h0R2r22gxdx
t|0τ=-R2r22gh0dxx
τ=-R2r22g∙2x|h0=R2r22g∙2h=Rr2 ∙2hg
τ=[мм2 ∙2∙ммс2=с2=с]
τ=0,11,00*10-32 ∙2∙0,5009,81=3192,75с=53,2 мин
Скорость равна первой производной от координаты
v=dxdt=-r22gxdtR2dt=-r22gxR2
dx2gx=-r2R2dt
dx2gx=-r2R2dt
2x2g=-r2R2(t-τ)
x=-r22g2R2(t-τ)
x=r42g4R4(t-τ)2=r4g2R4(t-τ)2
v=dxdt=r4g2R4t-τ2'=r4g2R4∙2t-τ=r4gR4∙t-τ-зависимость
скорости от времени
v=[м4∙мс2м4∙с-с=мс2∙с=мс]
Ответ: а) τ=53,2 мин ; б) v=r4gR4∙t-τ