Логотип Автор24реферат
Задать вопрос
%
уникальность
не проверялась
Контрольная работа на тему:

Численное решение дифференциальных уравнений Общее задание

уникальность
не проверялась
Аа
5583 символов
Категория
Высшая математика
Контрольная работа
Численное решение дифференциальных уравнений Общее задание .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Численное решение дифференциальных уравнений Общее задание Решить заданное дифференциальное уравнение: Решить уравнение аналитически Решить уравнение численно с помощью разложения в ряд Тейлора Решить уравнение численно с помощью метода Эйлера Решить уравнение численно с помощью модифицированного метода Эйлера Решить уравнение численно с помощью метода Рунге-Куттты Построить графики и аналитически оценить погрешности каждого метода Индивидуальное задание вариант уравнение Начальные условия 1 Теория Рассмотрим дифференциальное уравнение с начальным условием 𝑦(𝑎) = 𝑦0. Нужно найти решение этого уравнения 𝑦(𝑥) на отрезке [𝑎; 𝑏]. Заданное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными и приводится к виду после выделения и замены . Приближенные методы решения дифференциального уравнения состоят в последовательном вычислении приближенных значений функции 𝑦(𝑥) в точках, полученных дроблением отрезка [𝑎; 𝑏] на 𝑛 равных частей. В процессе вычислений используются следующие формулы: ℎ = (𝑏 − 𝑎)/𝑛 – длина промежутка дробления; 𝑥0=𝑎, 𝑥1=𝑥0+ℎ, 𝑥2=𝑥1+ℎ, …, 𝑥𝑛=𝑥𝑛−1+ℎ=𝑏 – значения аргументов, для которых вычисляется значение решения. В методе Эйлера приближенные значения 𝑦(𝑥) в точках 𝑥𝑖 вычисляются по формулам: 𝑦1 = 𝑦0 + ℎ ∙ f (𝑥0, 𝑦0) , 𝑦2 = 𝑦1 + ℎ ∙ f (𝑥1, 𝑦1), 𝑦3 = 𝑦2 + ℎ ∙ f (𝑥2, 𝑦2), … 𝑦𝑛 = 𝑦𝑛−1 + ℎ ∙ f (𝑥𝑛−1, 𝑦𝑛−1) В методе Эйлера-Коши приближенные значения 𝑦(𝑥) в точках 𝑥𝑖 вычисляются по формулам: , где , ; , где , ; , где , ;… , где , . В методе Рунге-Кутты приближенные значения 𝑦(𝑥) в точках 𝑥𝑖 вычисляются по формулам: , где , ; ; ; , где , ; ; . Формула для оценки погрешности аналитического решения ОДУ методами Эйлера и Рунге-Кутты имеет следующий вид: где p – порядок метода. Для метода Эйлера p=1, для модифицированного метода Эйлера p=2, для метода Рунге-Кутты p=4. При этом в каждой точке хi по формуле, соответствующей методу, производится расчет yi с шагом h (yi(h)) и с шагом h/2 (yi(h/2)). Расчет по приведенной формуле называется методом двойного просчета или правилом Рунге. Выполнение задания Для рассматриваемого дифференциального уравнения с начальными условиями имеем 𝑥0 = а= 0; 𝑦0 = 1; далее положим : b=1 и . Перепишем уравнение, выделив производную: , , , . Длина промежутка дробления . Решаем аналитически: . Разделяем переменные и проинтегрируем полученное уравнение: ; ; ; второй интеграл не табличный, его разрешаем отдельно: откуда , – общий интеграл рассматриваемого дифференциального уравнения. Воспользуемся начальным условием , чтобы найти частное

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Потяни, чтобы посмотреть
Порядка, где p=1) по формуле: для каждой точки и сведем вычисления в таблицу:
x ye(x)(h/2) ye(x)(h) R
0 1 1 0
0,05 1    
0,1 0,99762 1 0,00238
0,15 0,99308    
0,2 0,98661 0,99091 0,0043
0,25 0,97839    
0,3 0,96860 0,97439 0,00579
0,35 0,95743    
0,4 0,94501 0,95191 0,00689
0,45 0,93151    
0,5 0,91706 0,92471 0,00765
0,55 0,90178    
0,6 0,88578 0,89389 0,00811
0,65 0,86917    
0,7 0,85205 0,86037 0,00832
0,75 0,83451    
0,8 0,81662 0,82494 0,00832
0,85 0,79848    
0,9 0,78013 0,78828 0,00814
0,95 0,76166    
1 0,74310 0,75094 0,00783
Погрешность по методу Эйлера в конечной точке х=1 составила
R =0,00783.
4) По формулам модифицированного метода Эйлера
, ,
;
Все расчеты проведем в электронных таблицах:
В соответствующих ячейках введем формулы и растянем их вниз до требуемой ячейки.
Оценим погрешность решения ОДУ модифицированным методом Эйлера (или методом Рунге-Кутты 2 порядка, где p=2) по формуле: для каждой точки и сведем вычисления в таблицу:
x ye(x)(h/2) ye(x)(h) R
0 1 1 0
0,05 0,99881
 
0,1 0,99536 0,99545 3E-05
0,15 0,98988
 
0,2 0,98258 0,98271 4E-05
0,25 0,97366
 
0,3 0,96329 0,96337 3E-05
0,35 0,95163
 
0,4 0,93884 0,93881 1E-05
0,45 0,92506
 
0,5 0,91041 0,91020 7E-05
0,55 0,89502    
0,6 0,87898 0,87853 0,0002
0,65 0,86241    
0,7 0,84539 0,84465 0,0002
0,75 0,82800    
0,8 0,81033 0,80926 0,0004
0,85 0,79243    
0,9 0,77437 0,77296 0,0005
0,95 0,75622    
1 0,73802 0,73625 0,0006
Погрешность по модифицированному методу Эйлера в конечной точке х=1 составила R =0,0006.
5) По формулам метода Рунге-Кутты
, , ,
; ,
;
;
;
.
Все расчеты проведем в электронных таблицах:
В соответствующих ячейках введем формулы и растянем их вниз до требуемой ячейки.
Оценим погрешность решения ОДУ модифицированным методом Рунге-Кутты (или методом Рунге-Кутты 4 порядка, где p=4) по формуле: для каждой точки и сведем вычисления в таблицу:
x ye(x)(h/2) ye(x)(h) R
0 1 1 0
0,05 0,99879    
0,1 0,99532 0,99532 4E-09
0,15 0,98981    
0,2 0,98248 0,98248 6E-09
0,25 0,97350    
0,3 0,96306 0,96306 8E-09
0,35 0,95133    
0,4 0,93845 0,93845 9E-09
0,45 0,92456    
0,5 0,90980 0,90980 9E-09
0,55 0,89427    
0,6 0,87810 0,87810 9E-09
0,65 0,86138    
0,7 0,84420 0,84420 9E-09
0,75 0,82664    
0,8 0,80879 0,80879 9E-09
0,85 0,79072    
0,9 0,77248 0,77248 9E-09
0,95 0,75415    
1 0,73576 0,73576 9E-09
Погрешность по методу Рунге-Кутты в конечной точке х=1 составила
R =0.
Построим графики и аналитически оценим погрешности каждого метода (найдем абсолютные погрешности методов в конечной точке х=1).
Сводим данные всех методов в одну таблицу, в которой разместим значения функции, вычисленной аналитически для всех узловых точек.
По этим данным строим сглаженный точечный график.
По графику видим, что к точному близки все методы.
По методу Эйлера также можно достигнуть большей точности, но для этого надо увеличить количество узловых точек (уменьшить длину промежутка дробления).
Вычислим относительные погрешности методов в конечной точке:
50% задачи недоступно для прочтения
Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение
Получить задачу

Магазин работ

Посмотреть все
Посмотреть все
Больше контрольных работ по высшей математике:

Данную функцию разложить в ряд Лорана в окрестности точки z0

670 символов
Высшая математика
Контрольная работа

По результатам наблюдений проведенным на железнодорожной станции

3069 символов
Высшая математика
Контрольная работа

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области x=0

937 символов
Высшая математика
Контрольная работа
Все Контрольные работы по высшей математике
Закажи контрольную работу
Оставляя свои контактные данные и нажимая «Найти работу», я соглашаюсь пройти процедуру регистрации на Платформе, принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности в целях заключения соглашения.

Наш проект является банком работ по всем школьным и студенческим предметам. Если вы не хотите тратить время на написание работ по ненужным предметам или ищете шаблон для своей работы — он есть у нас.