Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка

А) Метод Эйлера.
Итерационная формула метода Эйлера:
yi+1=yi+h∙fti, yi=yi+h∙yiti-1+3ti-1e3ti
h=0,2; t0=-1; y0=-2e-3≈-0,099574
t1=t0+h=-1+0,2=-0,8
y1=y0+h∙y0t0-1+3t0-1e3t0=-2e-3+0,2∙-2e-3-1-1-6e-3=-0,149361
t2=t1+h=-0,8+0,2=-0,6
y2=y1+h∙y1t1-1+3t1-1e3t1=-3e-3+0,2∙-3e-3-1,8-5,4e-2,4=-0,622642
Следующие шаги представим в таблице:
i
0 1 2 3 4 5
ti
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0
fti, yi
-0,248935 -0,406899 -0,649222 -1,00745 -1,507325
yi
-0,099574 -0,149361 -0,230741 -0,360585 -0,562076 -0,863541
б) Метод Рунге-Кутты 2-ого порядка с оценкой погрешности по правилу Рунге.
Схема метода Рунге-Кутты второго порядка описывается рекуррентными формулами:
k1=h∙fti; yi
k2=h∙fti+h; yi+k1
∆yi=12k1+k2
yi+1=yi+∆yi
На первом шаге имеем:
ft;y=yt-1+3t-1e3t; h=0,2; t0=-1; y0=-2e-3≈-0,099574
k10=0,2∙-2e-3-1-1-6e-3=0,2∙-5e-3=-0,049787
t1+h=-1+0,2=-0,8; y1+k11=0-0,8=1,2
k20=0,2∙61,22+2∙1,21,2=1,2333
∆y0=12k10+k20=121,2+1,2333=1,2167
y1=y0+∆y0=0+1,2167=1,2167
На втором шаге имеем: t1=t0+h=1+0,2=1,2; y1=1,2167
Приведем расчет дальнейших шагов в таблице:
i
0 1 2 3 4 5
ti
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0
yi
-0,099574 -0,165158 -0,269014 -0,429898 -0,671474 -1,017619
fti, yi
-0,248935 -0,398123 -0,625301 -0,957946 -1,416160
k1i
-0,049787 -0,079625 -0,125060 -0,191589 -0,283232
ti+h
-0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0
yi+k1i
-0,149361 -0,244782 -0,394075 -0,621487 -0,954706
fti+h; yi+k1i
-0,406899 -0,640446 -0,983534 -1,457816 -2,045294
k2i
-0,081380 -0,128089 -0,196707 -0,291563 -0,409059
∆yi
-0,065583 -0,103857 -0,160883 -0,241576 -0,346145
Итак, получили численное решение методом Рунге-Кутта второго порядка:
i
0 1 2 3 4 5
ti
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0
yi
-0,099574 -0,165158 -0,269014 -0,429898 -0,671474 -1,017619
Для оценки погрешности по правилу Рунге вычислим решение заданного уравнения с шагом 2h=0,4
i
0 1 2
ti
-1 -0,6 -0,2
yi
-0,099574 -0,283155 -0,713302
fti, yi
-0,248935 -0,616463  
k1i
-0,099574 -0,246585  
ti+h
-0,6 -0,2  
yi+k1i
-0,199148 -0,529740  
fti+h; yi+k1i
-0,668967 -1,534272  
k2i
-0,267587 -0,613709  
∆yi
-0,183580 -0,430147  
i
0 1 2 3 4 5
xi
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0
yih
-0,099574 -0,165158 -0,269014 -0,429898 -0,671474 -1,017619
yi2h
-0,099574
-0,283155
-0,713302
Формула
ε=yih-yi2h2p-1
дает погрешность решения yih