Бином Ньютона. Сколько рациональных членов содержится в разложении

Формула бинома Ньютона: x+an=xn+Cn1xn-1a+…+Cnkxn-kak+…+an
Общий член разложения Tk=Cnkan-kbk;k=0,1,…,n
43-316
2.1. Tk=Cnk43n-k3k;k=0,1,…,n→Tk=Cnk314n-k*312k; k=0,1,…,n
→Tk=Cnk314n-k+12k; k=0,1,…,n→ Tk=Cnk314n+k; k=0,1,…,n
n=16→Tk=C16k34+14k; k=0,1,…,n
Чтобы член разложения был рациональным, необходимо, чтобы 4+14k было кратно 4, значит k должно быть кратно 4, т.е. k=0,4,8,12,16.
2.2. Tk=C10k61410-k*312k; k=0,1,…,n
Чтобы член разложения был рациональным, необходимо, чтобы p=1410-k;q=12k были целыми числами.
Чтобы q было целым, необходимо чтобы k было четным (т.е . k=0,2,4,6,8,10).
Чтобы p было четным, необходимо чтобы k было кратно 4 (т.е. k=0,4,8).
Значит, существуют 3 рациональных члена в разложении.
2.3 2+t-t615
2m*tn*-t6k*Pm,n,k=-1k2mtnt6kPm,n,k=-1k2mtn+6kPm,n,k
m+n+k=15
Найдем все целые неотрицательные числа, удовлетворяющие уравнению n+6k=23
Пусть k=0:n+6*0=23;n=23
Пусть k=1:n+6*1=23;n=23-6=17
Пусть k=2:n+6*2=23;n=23-12=11
Пусть k=3:n+6*3=23;n=23-18=5
Подставим эти наборы n,k в m+n+k=15→m=15-n-k
n,k=23,0:m=15-23-0=-8<0
n,k=17,1:m=15-17-1=-3<0
n,k=11,2:m=15-11-2=2
n,k=5,:m=15-5-3=7
Получим наборы (m,n,k): (2,11,2) и (7,5,3).
Для набора (2,11,2) слагаемое, содержащее t23 имеет вид:
-1222t11+6*2P2,11,2=4t2315!2!11!2!=4t231*…*11*12*13*14*151*…*11*2*2=32760t23
Для набора (7,5,3) слагаемое, содержащее t23 имеет вид:
-1327t5+6*3P7,5,3=-128t2315!7!5!3!=-128t231*…*7*8*9*10*11*12*13*14*151*…*7*2*3*4*5*2*3=-46126080t23
Окончательно получим:
32760t23-46126080t23=-46093320t23
2.4 2+t4-t625
2m*t4n*-t6k*Pm,n,k=-1k2mt4nt6kPm,n,k=-1k2mt4n+6kPm,n,k
m+n+k=25
Найдем все целые неотрицательные числа, удовлетворяющие уравнению 4n+6k=23
Пусть n=0:4*0+6k=23;k=236∈Z
Пусть n=1:4*1+6k=23;k=196∈Z
Пусть n=2:4*2+6k=23;k=156∈Z
Пусть n=3:4*3+6k=23;k=116∈Z
Пусть n=4:4*4+6k=23;k=76∈Z
Пусть n=5:4*5+6k=23;k=36∈Z
В целых неотрицательных числах уравнение 4n+6k=23 не решается.
Значит, найти коэффициент при t23 в разложении 2+t4-t625 не представляется возможным.
Ответ:
2.1 → 5 рациональных членов
2.2 → 3 рациональных члена
2.3 → -46093320
2.4 → не существует