Биатлонист делает 6 выстрелов по мишеням с вероятностью попадания в каждом выстреле 0

Случайная величина X- число пораженных мишеней, при n=6 выстрелах, может принимать значения 0,1,…,6.
Вероятности значений случайной величины X найдем по формуле Бернулли N=6, p=0,9:
PNn=CNn∙pn∙qN-n⟹P5X=n=C6n∙0,9n∙0,16-n
P6X=0=C60∙0,90∙0,16=0,000001
P6X=1=C61∙0,91∙0,15=0,000054
P6X=2=C62∙0,92∙0,14=0,001215
P6X=3=C63∙0,93∙0,13=0,01458
P6X=4=C64∙0,94∙0,12=0,098415
P6X=5=C65∙0,95∙0,11=0,354294
P6X=6=C66∙0,96∙0,10=0,531441
Ряд распределения X:
xi
0 1 2 3 4 5 6
pi
0,000001 0,000054 0,001215 0,01458 0,098415 0,354294 0,531441
Проверяем условие нормировки:
i=1npi=0,000001+0,000054+0,001215+0,01458+0,098415+0,354294+0,531441=1.
Многоугольник распределения – ломанная, соединяющая точки с координатами xi,pi.
Функция распределения дискретной случайной величины:
Fx=PX<x=xi<xpi
Fx=0, при x≤00+0,000001=0,000001, при 0<x≤10,000001+0,000054=0,000055, при 1<x≤20,000055+0,001215=0,001270 при 2<x≤30,001270+0,014580=0.015850 при 3<x≤40.015850+0,098415=0,114265 при 4<x≤50,114265+0,354294=0,468559 при 5<x≤6 0,468559 +0,531441=1 при x>6=0, при x≤00,000001, при 0<x≤10,000055, при 1<x≤20,001270 при 2<x≤30.015850 при 3<x≤40,114265 при 4<x≤50,468559 при 5<x≤6 1 при x>6
График интегральной функции распределения:
б) Математическое ожидание, дисперсию и СКО вычислим по формулам
MX=i=1nxipi, DX=i=1nxi2∙pi-M3X σx=Dx.
MX=0∙0,000001+1∙0,000054+2∙0,001215+3∙0,01458+4∙0,098415+
+5∙0,354294+6∙0,531441=5,4
DX=0∙0,000001+1∙0,000054+4∙0,001215+9∙0,01458+16∙0,098415+
+25∙0,354294+36∙0,531441-5,42=0,54
σx=0,54≈0,735.
По формулам биноминального распределения:
MX=np=6∙0,9=5,4, DX=npq=6∙0,9∙0,1=0,54.
Мода Mo – это значение с наибольшей вероятностью.
maxipi=p6=0,531441⟹Mo=x6=6.
Ответ: MX=5,4, DX=0,54, σx≈0,735, Mo=6.