АТС имеет 4 линии связи. Поток вызовов простейший с интенсивностью λ=1,7 вызовов в минуту. Время переговоров распределено по показательному закону, среднее время составляет t=2.5 мин.
Описать состояния СМО, построить графы распределения состояний.
Найти предельные вероятности состояний системы. Найти показатели эффективности работы АТС, проанализировать эти показатели.
Изучить зависимость среднего числа занятых каналов и абсолютной пропускной способности АТС от интенсивности входного потока, зависимости представить в виде таблиц и графиков.
Определить сколько линий должна иметь АТС, чтобы вероятность отказа не превышала 0,01
Содержание каждого канала в месяц обходится в 10 тыс ус лед. Каждая обслуженная заявка приносит доход в 1,5 усл ед. Определить рентабельность АТС. Найти оптимальное число каналов, при котором прибыль АТС будет максимальным( или дефицит минимальным).
Решение
1. Имеем 4-х канальную СМО с отказом. Состояния системы S (СМО) будем нумеровать по числу заявок, находящихся в системе (в данном случае оно будет совпадать с числом занятых каналов):
S0 - в СМО нет ни одной заявки;
S1 – в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные свободны);
S2 – в СМО находится две заявки (два канала заняты, остальные свободны);
S3 – в СМО находится три заявки (три канала заняты, остальные свободны);
S4 - в СМО находится четыре заявки (все четыре канала заняты, заявка поступившая в данный момент получает отказ).
Построим граф состояний данной СМО, соответствующий схеме гибели и размножения ( см рисунок ).
2. Рассчитаем интенсивность потока обслуживания через μ из соотношения: заявки обрабатывается за минуту.
Обозначим приведенную интенсивность потока заявок через ρ - среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки:
Получим формулы Эрланга для финальных вероятностей состояний.
то есть вероятность того, что канал свободен, составляет 0,0246 * 100% ≈ 2,46%
, то есть вероятность того, что один канал занят, а остальные свободны, составляет 0,1045 * 100% ≈ 10,45%
, то есть вероятность того, что два канала заняты, а остальные свободны, составляет 0,222 * 100% ≈ 22,2%
, то есть вероятность того, что три канала заняты, а остальные свободны, составляет 0,315 * 100% ≈31,5%
, то есть вероятность того, что все каналы заняты составляет 0,334 * 100% ≈ 33,4%
проверка: 0,0246 + 0,10455 + 0,222+ 0,315+ 0,334 ≈ 1,0001
Таким образом, финальные вероятности системы найдены
. По ним вычислим характеристики эффективности СМО.
Сначала найдем вероятность отказа Ротк - вероятность того, что пришедшая заявка получит отказ (не будет обслужена, для этого необходимо, чтобы все каналы были заняты.)
, то есть вероятность того, что пришедшая заявка получит отказ (не будет обслужена) составляет 0,334 * 100% ≈ 33,4%
Отсюда найдем относительную пропускную способность (среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой) – вероятность того, что заявка будет обслужена: , то есть вероятность того, что пришедшая заявка будет обслужена составляет 0,666 * 100% ≈ 66,6%
Абсолютная пропускная способность (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени) вычисляется по формуле: , то есть около 1 заявок, обслуживается в минуту
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
