Анализ плоского напряженного состояния

1. В соответствии с исходными данными, вычерчиваем схему напряженного элемента (рис.2).
Рис.2. Схема напряженного элемента.
2.Аналитически определение положения главных площадок и величины главных напряжений.
tg2α0 = - 2τх/( 𝜎х - 𝜎у) = - 2·40/(70 + 50) = - 0,6667, тогда
2α0 = arctg(- 0,6667) = -33º41´ и α0 = - 16º50´. Так как угол α0 - со знаком «минус»,
то исходное положение площадки необходимо повернуть по направлению хода часовой стрелки на величину этого угла, для того чтобы на этих площадках действовали главные напряжения, которые определяем по формуле:
244475028575𝜎max, min = (𝜎х + 𝜎у)/2 ± 0,5·(σx-σy )2+4τx2 =
2305050406400 (70 - 50)/2 ± 0,5·(70+50)2+4·402 = 10,0± 72,11 МПа.
𝜎max = 𝜎1 = 10,0 + 72,11 = 82,11 МПа; 𝜎min = 𝜎3 = 10,0 - 72,11 = - 62,11 МПа.
Проверка: 𝜎1 + 𝜎3 = 82,11 - 62,11 = 20,0 МПа; 𝜎х + 𝜎у = 70 - 50 = 20,0 МПа;
Равенство 𝜎1 + 𝜎3 = 𝜎х + 𝜎у - выполняется.
3. Аналитическое определение напряжения на взаимно-перпендикулярных площадках, повернутых относительно исходных на угол α.
Нормальные напряжения определяются по формулам:
𝜎α = 𝜎х·сos2α - 𝜎у·sin2α - τх·sin2α = 70·сos2(- 30º) + 50·sin2(- 30º) - 40·sin(-2·30º) =
= 99,64 МПа.
Для угла 𝛽 = α + 90º = - 30º+ 90º = 60º
𝜎𝛽 = 𝜎х·сos2𝛽 - 𝜎у·sin2𝛽 - τх sin2𝛽 = 70·сos2(60º) + 50·sin2(60º) - 40·sin(2·60º) =
= 20,36 МПа.
Касательные напряжения определяются по формулам:
τα = 0,5·(𝜎х- 𝜎у)·sin2α + τх·сos2α = 0,5·(70 + 50)·sin(-2·30º) + 40·сos(-2·30º) =
= -31,96 МПа .
τ𝛽 = 0,5·(𝜎х- 𝜎у)·sin2𝛽 + τх·сos2𝛽 = 0,5·(70 + 50)·sin(120º) + 40·сos(120º) =
= 31,96 МПа, т.е. так как и должно быть τ𝛽 = - τα.
4. Определение наибольшего касательного напряжения.
τmax = (𝜎max - 𝜎min)/2 = (𝜎1 - 𝜎3)/2 = (82,11+ 62,11)/2 = 72,11 МПа.
5. Определение главных относительных деформации.
𝜀1 = [𝜎1 - μ·(𝜎2 + 𝜎3)]/E = [82,11- 0,25·(0 - 62,11)]/ 2·105 = 56,6·10-5
𝜀2 = [𝜎2 - μ·(𝜎1 + 𝜎3)]/E = [0 - 0,25·(82,11- 62,11)]/ 2·105 = -2,5·10-5
𝜀3 = [𝜎3 - μ·(𝜎1 + 𝜎2)]/E = [- 62,11 - 0,25·(82,11+0)]/ 2·105 = - 41,3·10-5
6. Определение относительного изменения объема.
θ = 𝜀1 + 𝜀2 + 𝜀3 = (56,6 -2,5 - 41,3)·10-5 = 12,8·10-5
7. Определение эквивалентных напряжений по пяти теориям прочности.
а) для пластичных материалов (по III-ей теории прочности наибольших касательных напряжений и IV- ой теории прочности потенциальной энергии изменения формы):
σэквIII = 𝜎1 - 𝜎3 = 82,11+ 62,11 = 144,22 МПа < [𝜎] = 𝜎T = 280 МПа.
σэквIV = [(𝜎1 - 𝜎2)2/2 + (𝜎2 - 𝜎3)2 + (𝜎3 - 𝜎1)2]1/2 = [(82,11- 0)2/2 + (0 + 62,11)2 +
+ (- 62,11- 82,11)2]1/2 = 167,42 МПа < [𝜎] = 𝜎T = 280 МПа.
Вывод: По обоим теориям, условие прочности - обеспечивается.
б) для хрупких материалов (по I-ой теории прочности наибольших нормальных напряжений, по II- ой теории прочности наибольших линейных деформаций и V-ой
теории прочности Мора).
σэквI = 𝜎1 = 82,11 МПа < [𝜎] = [𝜎р] = 150 МПа.
σэквII = 𝜎1 - μ·(𝜎2 + 𝜎3) = 82,11- 0,25·(0 - 62,11) = 97,64 МПа < [𝜎] = [𝜎р] = 150 МПа.
σэквV = 𝜎1 - k·𝜎3 = 82,11+ 0,23·62,11 = 96,40 МПа < [𝜎] = [𝜎р] = 150 МПа.
где k = [𝜎Р]/[𝜎С] = 150/650 = 0,23.
Вывод: По всем трем теориям, условие прочности - обеспечивается.
8